轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求铝杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 25 kNd = 30 mmL = 3 mE = 70 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 15 kN第 1 段：Ø30 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø16 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 12 mm 的实心试件受 20 N·m 的扭矩作用。标距 200 mm 两端的相对转角为 1.41°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 20 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 1.41°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 750 rpm 下传递 75 kW，且切应力不超过 40 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 75 kWN = 750 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 5.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mw = 8 kN/m，从 0 到 6 mx = 5.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
20 kN @ 0 m15 kN @ 6 m10 kN/m, 1–5 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.形心和惯性矩中等
对称工字形截面的翼缘宽 110 mm、厚 22 mm，总高度 340 mm，腹板厚 14 mm。 求其绕水平形心轴 x 弯曲时的弹性抗弯截面系数 Sx。
B = 110 mmH = 340 mmtf = 22 mmtw = 14 mm
Sx = × 10³ mm³
8.形心和惯性矩困难
铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 60 MPa，容许压应力为 100 MPa。 求梁能承受的最大正弯矩 Mallow。
bf = 220 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 140 mmσt,allow = 60 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 100 MPa，σᵧ = 10 MPa，τₓᵧ = 10 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 100 MPaσy = 10 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 50 mm 的实心轴承受130 kN 的轴向压力，同时承受 1500 N·m 的扭矩。 在轴的表面处， 求面内最大切应力 τmax。
d = 50 mmF = −130 kNT = 1500 N·m
τmax = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 15 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 90 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 90 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 505.3 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 25·1000/706.9 = 35.37 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 35.37/70000 = 0.0005053 = 505.3 µε
答案
ε = 505.3 µε
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 74.6 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 21.22 MPa
σ2 = 74.6 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 74.6 MPa
答案
σmax = 74.6 MPa
3.轴的扭转
答案: G = 79.84 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 1.41·π/180 = 0.02461 rad
剪切模量
T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·200/(2036·0.02461) = 79843 MPa
G = 79.84 GPa
答案
G = 79.84 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: d = 49.54 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 75000/78.54 = 954.9 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·40)) = 49.54 mm
答案
d = 49.54 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 11 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·6·3
RB = 144/6 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
在 x = 5.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 24·5.5 − 8·5.5·2.75 = 11 kN·m
答案
Mx = 11 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: B (x = 1 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 41.25 kN, R2 = 33.75 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −20 kN·m, MC = −3.75, MD = 2.5, ME = −1.25, MF = −15, MG = 0
答案
标记点 B: MB = −20 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Sx = 898.9 × 10³ mm³
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 340 − 2·22 = 296 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (110·340³ − 96·296³)/12
Ix = 1.528 × 10⁸ mm⁴
抗弯截面系数
c = H/2 = 170 mm
Sx = I/c = 1.528 × 10⁸/170
Sx = 898894 mm³ = 898.9 × 10³ mm³
答案
Sx = 898.9 × 10³ mm³
8.形心和惯性矩
答案: Mallow = 6.061 kN·m
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
形心
ȳ = (3300·147.5 + 2240·70)/5540 = 116.2 mm
上边缘: c = 155 − 116.2 = 38.84 mm
惯性矩
I = 220·15³/12 + 3300·31.34² + 16·140³/12 + 2240·46.16² = 1.173 × 10⁷ mm⁴
每个边缘允许的弯矩
正弯矩：上侧受压，下侧受拉。
上边缘: M = 100·1.173 × 10⁷/38.84 = 30.22 kN·m
下边缘: M = 60·1.173 × 10⁷/116.2 = 6.061 kN·m
控制值
Mallow = min = 6.061 kN·m (下边缘)
答案
Mallow = 6.061 kN·m
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 46.1 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((100 − 10)/2)² + 10²) = 46.1 MPa
答案
τmax = 46.1 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 69.51 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = F/A = −130000/(π·50²/4) = −130000/1963 = −66.21 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61.12 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = −33.1 MPa
R = √((−33.1)² + 61.12²) = 69.51 MPa
答案
τmax = 69.51 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 2.035 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 6 N/mm, L = 5000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·2.4 × 10¹³) = 2.035 mm
答案
δmax = 2.035 mm
12.梁的挠度
答案: Ireq = 15.69 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·2500⁴/(384·70000·6.944) = 1.569 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 15.69 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 15.69 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 4.205 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
计算长度
KL = 2·1500 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4.205 kN
答案
Pcr = 4.205 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 52.21 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·90000 = 180000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 52.21 mm
答案
d = 52.21 mm
校核：长细比 KL/r 为 153.2，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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