材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa）放在一根铝管（外径 120 mm，内径 50 mm，E = 70 GPa）内。二者长度均为 400 mm，在刚性板之间被 200 kN 的力一起压缩。求缩短量 δ。

P = 200 kN杆: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σ_max。

P = 100 kN第 1 段：Ø40 mm，0.5 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø20 mm，0.5 m，铝（E = 70 GPa）

σ_max = MPa

3.轴的扭转中等

在扭转试验中，一根直径 20 mm 的实心试件受 75 N·m 的扭矩作用。标距 200 mm 两端的相对转角为 2.1°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。

T = 75 N·md = 20 mmL = 200 mmφ = 2.1°

G = GPa

4.轴的扭转困难

一根直径 50 mm 的实心钢轴在 A 端固定。距 A 0.8 m 的 B 处作用 100 N·m 的扭矩，再往前 3 m 的自由端 C 处作用一个反向的 500 N·m 扭矩。求端部 C 扭转角 φ_C 的大小，以度表示。

d = 50 mmT_B = 100 N·mT_C = 500 N·mAB = 0.8 mBC = 3 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

25 kN @ 10 m40 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 60 kN 位于 4 mw = 10 kN/m，从 0 到 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.形心和惯性矩中等

一块 120 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 150 mmd = 60 mm孔心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 50 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mmM = 50 kN·m

σ_顶部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 120 MPa，σᵧ = 90 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θ_p，取值在 −90° 到 90° 之间。

σ_x = 120 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.莫尔圆与应力变换困难

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 150 MPa，σᵧ = 50 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（σ_z = 0）。材料的屈服强度为 275 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。

σ_x = 150 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.梁的挠度中等

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。求自由端 B 处的挠度 δ_B。

P = 9 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 15 kNw = 4 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 0.1116 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·9346 = 7.171 × 10⁸ N

缩短量

δ = 200000·400/7.171 × 10⁸ = 0.1116 mm

答案

δ = 0.1116 mm

2.轴向应力与应变

答案: σ_max = 318.3 MPa

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 79.58 MPa

σ₂ = 318.3 MPa

最大应力

较细的一段面积较小，因此应力较大。

σ_max = 318.3 MPa

答案

σ_max = 318.3 MPa

3.轴的扭转

答案: G = 26.05 GPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩和角度

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 2.1·π/180 = 0.03665 rad

剪切模量

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·200/(15708·0.03665) = 26054 MPa

G = 26.05 GPa

答案

G = 26.05 GPa

作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。

4.轴的扭转

答案: φ_C = 2.124 °

内扭矩

取 T_C 的转向为正。

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 100 = 400 N·m

各段的扭转角

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 400000·800/(80000·613592) = 0.006519 rad

φ_BC = 500000·3000/(80000·613592) = 0.03056 rad

端部 C 的扭转角

φ_C = 0.006519 + 0.03056 = 0.03708 rad → |φ_C| = 2.124°

答案

φ_C = 2.124°

5.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 17.5 kN, R₂ = 47.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 35, M_C = 70, M_D = 105, M_E = 140 kN·m, M_F = 95, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 140 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 68 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·4 + 10·5·2.5

R_B = 365/5 = 73 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 73 = 37 kN

在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 37·4 − 10·4·2 = 68 kN·m

答案

M_x = 68 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 30.09 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (18000·75 − 2827·105)/(18000 − 2827) = 69.41 mm

完整的板关于 ȳ

120·150³/12 + 18000·5.591² = 34.31 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·35.59² = 4.218 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 30.09 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 30.09 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 124.6 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

腹板: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·225 + 2200·110)/4600 = 170 mm

平行移轴定理

翼缘: 240·10³/12 + 2400·(225 − 170)² = 7.28 × 10⁶ mm⁴

腹板: 10·220³/12 + 2200·(110 − 170)² = 1.679 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.28 × 10⁶ + 1.679 × 10⁷ = 2.407 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 230 − 170 = 60 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·60/2.407 × 10⁷ = 124.6 MPa

答案

σ_顶部 = 124.6 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: θ_p = 31.72 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。

2θ_p = atan2(2·30, 120 − 90) = 63.43°

单元体上的角度

θ_p = 31.72°

答案

θ_p = 31.72°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: n = 1.842

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σ_Y 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σ_Y/2 时屈服。

主应力

C = 100 MPa, R = 64.03 MPa

σ₁ = 164 MPa, σ₂ = 35.97 MPa, σ₃ = 0

冯·米塞斯

σ_vM = √(164² − 164·35.97 + 35.97²) = 149.3 MPa

n = 275/149.3 = 1.842

答案

n = 1.842

n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。

11.梁的挠度

答案: δ_B = 10.53 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 9000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δ_P = Pa³/(3EI) = 6.015 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.004511 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 10.53 mm

答案

δ_B = 10.53 mm

12.梁的挠度

答案: δ_max = 7.486 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 15000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm, EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 15000·2500³/(48·9.24 × 10¹¹) = 5.284 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 2.202 mm

相加

δ_max = 5.284 + 2.202 = 7.486 mm

答案

δ_max = 7.486 mm

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 2.481 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

计算长度

KL = 1·2500 = 2500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2.481 kN

答案

P_cr = 2.481 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 197.4 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/10 = 100

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa

答案

σ_cr = 197.4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials