材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等
Ø 20 mm黄铜3 mP = 80 kN

求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。

P = 80 kNd = 20 mmL = 3 mE = 100 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
Ø 35 mm铜0.5 mØ 20 mm铝1.5 mP = 105 kN

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。

P = 105 kN第 1 段：Ø35 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1.5 m，铝（E = 70 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
d = ?T = 1500 N·mL = 0.8 m

一根长 0.8 m 的实心钢轴承受 1500 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 3°。求满足该限值的最小直径 d。

T = 1500 N·mL = 0.8 mG = 80 GPaφallow = 3°
d = mm
4.轴的扭转困难
Tdo​ = 40 mm, di​ = 20 mm

一根空心轴在 1000 rpm 下传递 10 kW。求轴中的最大切应力 τmax。

P = 10 kWN = 1000 rpmdo = 40 mmdi = 20 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
P1​ = 65 kNP2​ = 15 kNABC1 m3 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求支座 B 处的弯矩 MB。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP1 = 65 kN 位于 1 mP2 = 15 kN 位于 6 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m
MB = kN·m
6.剪力和弯矩困难
10 kN/m30 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

30 kN @ 6 m60 kN @ 1 m10 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.形心和惯性矩中等
1001524010x尺寸单位为 mm

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。

bf = 100 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
200 mm200 mm130 mm80 × 20xIx​ = ?

一块 200 mm × 200 mm 的板有一个宽 80 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 130 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。

b = 200 mmh = 200 mm切口: 80 × 20 mm孔心: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = 140σy​ = 80τxy​ = −50MPa

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 140 MPa，σᵧ = 80 MPa，τₓᵧ = −50 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。

σx = 140 MPaσy = 80 MPaτxy = −50 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
20°D = 600 mm, t = 10 mm, p = 0.8 MPap

一个薄壁圆柱形储罐，内径 600 mm，壁厚 10 mm，所盛气体的表压为 0.8 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 20° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。

D = 600 mmt = 10 mmp = 0.8 MPaα = 20°
σn = MPa
11.梁的挠度中等
P = 28 kNABδ2.5 m2.5 m

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 2.5 m 处承受集中荷载 P。 求荷载作用处的挠度 δP。

P = 28 kNa = 2.5 mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
w = 1.5 kN/mABδ3.5 m

一根矩形截面的简支木梁，宽 125 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/360。求截面的最小高度 hreq。

w = 1.5 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 125 mm
hreq = mm
13.柱的屈曲中等
PL = 3 md = 25 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 25 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
PL = 2.5 md = 20 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 20 mm
σcr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: ε = 2546 µε

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 80·1000/314.2 = 254.6 MPa

应变（胡克定律）

E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 254.6/100000 = 0.002546 = 2546 µε

答案

ε = 2546 µε
2.轴向应力与应变

答案: δ = 7.628 mm

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 109.1 MPa
σ2 = 334.2 MPa

叠加各段伸长量

δ1 = σ1L1/E1 = 109.1·500/117000 = 0.4664 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 334.2·1500/70000 = 7.162 mm
δ = δ1 + δ2 = 7.628 mm

答案

δ = 7.628 mm
3.轴的扭转

答案: d = 41.33 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

所需的极惯性矩

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 3·π/180 = 0.05236 rad
J = TL/(Gφ) = 1.5 × 10⁶·800/(80000·0.05236) = 286479 mm⁴

直径

d = (32J/π)1/4 = 41.33 mm

答案

d = 41.33 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

4.轴的扭转

答案: τmax = 8.106 MPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 10000/104.7 = 95.49 N·m

极惯性矩

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

最大切应力

τmax = T·(do/2)/J = 95493·20/235619 = 8.106 MPa

答案

τmax = 8.106 MPa
5.剪力和弯矩

答案: MB = −30 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣMA = 0: RB·4 = 65·1 + 15·6
RB = 155/4 = 38.75 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 38.75 = 41.25 kN

在 B 处截开，保留外伸段

外伸段上只作用 P2，力臂为 a。它使梁在支座上方向上弯曲（负弯矩）。

MB = −P2·a = −15·2 = −30 kN·m

答案

MB = −30 kN·m
6.剪力和弯矩

答案: B (x = 1 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 67 kN, R2 = 73 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 62 kN·m, MC = 54, MD = 36, ME = 8, MF = −30, MG = 0

答案

标记点 B: MB = 62 kN·m
7.形心和惯性矩

答案: Ix = 26.55 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 100·15 = 1500 mm², yf = 240 + 15/2 = 247.5 mm
腹板: Aw = 10·240 = 2400 mm², yw = 240/2 = 120 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1500·247.5 + 2400·120)/3900 = 169 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·15³/12 + 1500·(247.5 − 169)² = 9.262 × 10⁶ mm⁴
腹板: 10·240³/12 + 2400·(120 − 169)² = 1.729 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9.262 × 10⁶ + 1.729 × 10⁷ = 2.655 × 10⁷ mm⁴ = 26.55 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 26.55 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩

答案: Ix = 131.8 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。

形心

ȳ = (40000·100 − 1600·130)/(40000 − 1600) = 98.75 mm

完整的板关于 ȳ

200·200³/12 + 40000·1.25² = 133.4 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

80·20³/12 + 1600·31.25² = 1.616 × 10⁶ mm⁴

相减

Ix = 131.8 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 131.8 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换

答案: τabs = 84.15 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。

στxyCσ1​σ2​

面内主应力

C = 110 MPa, R = √(30² + (−50)²) = 58.31 MPa
σ1 = 168.3 MPa, σ2 = 51.69 MPa, σz = 0

三个圆中最大的

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(116.6, 168.3, 51.69)/2 = 84.15 MPa

答案

τabs = 84.15 MPa

这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σn = 22.6 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。

筒壁应力

r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 0.8·300/10 = 24 MPa
σa = pr/(2t) = 12 MPa

变换到焊缝

取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。

σn = 12·sin²20° + 24·cos²20° = 22.6 MPa

答案

σn = 22.6 MPa
11.梁的挠度

答案: δP = 24.8 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 28000 N, a = 2500 mm, L = 5000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δP = Pa³/(3EI) = 28000·2500³/(3·5.88 × 10¹²) = 24.8 mm

答案

δP = 24.8 mm
12.梁的挠度

答案: hreq = 138.1 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 1.5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δallow = L/360 = 3500/360 = 9.722 mm

所需惯性矩

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1.5·3500⁴/(384·11000·9.722) = 2.741 × 10⁷ mm⁴

所需高度

bh³/12 = Ireq → h = (12·2.741 × 10⁷/125)1/3 = 138.1 mm

答案

hreq = 138.1 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

13.柱的屈曲

答案: Pcr = 5.888 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1500² = 5888 N = 5.888 kN

答案

Pcr = 5.888 kN
14.柱的屈曲

答案: σcr = 11.05 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

回转半径和长细比

A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/5 = 250

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11.05 MPa

答案

σcr = 11.05 MPa

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