轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 40 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 30 mm，长 200 mm，E = 110 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.25 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 45 kN第 1 段：Ø40 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø16 mm，1 m，黄铜（E = 100 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 500 N·md = 50 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心黄铜轴在 500 rpm 下传递 75 kW。切应力不得超过 60 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.25°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 75 kWN = 500 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0.25°/mG = 39 GPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mw = 6 kN/m，从 0 到 10 mx = 4 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。
L = 10 mw = 8 kN/m，从 0 到 10 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 100 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 52.5 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 100 mmh = 150 mmd = 30 mm孔心: y = 52.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 150 mm × 300 mm 的板有一个宽 60 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 195 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 150 mmh = 300 mm切口: 60 × 50 mm孔心: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 50 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 50 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 40 MPa，σᵧ = 20 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 350 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 40 MPaσy = 20 MPaτxy = −60 MPaσY = 350 MPa
n =
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θA，以弧度表示。
w = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 11 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 35 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 35 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 66.39 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 1257 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1.194 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·706.9) = 2.572 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.25/3.766 × 10⁻⁶ = 66386 N = 66.39 kN
答案
P = 66.39 kN
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 223.8 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 35.81 MPa
σ2 = 223.8 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 223.8 MPa
答案
σmax = 223.8 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 0.4669 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(80000·613592) = 0.008149 rad
φ = 0.008149·180/π = 0.4669°
答案
φ = 0.4669°
4.轴的扭转
答案: d = 96.23 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 75000/52.36 = 1432 N·m
按强度求直径
T = 1432 N·m = 1.432 × 10⁶ N·mm
dτ = ∛(16·1.432 × 10⁶/(π·60)) = 49.54 mm
按刚度求直径
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·1.432 × 10⁶/(π·39000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 96.23 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(49.54, 96.23) = 96.23 mm
答案
d = 96.23 mm
这里由刚度控制。
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 72 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 6·10·5
RB = 300/10 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 30·4 − 6·4·2 = 72 kN·m
答案
Mx = 72 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 56.25 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 8·10·5
RB = 400/8 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 50 = 30 kN
剪力为零
RA − w·x0 = 0 → x0 = 30/8 = 3.75 m
最大正弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 30²/(2·8) = 56.25 kN·m
答案
Mmax = 56.25 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 27.71 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (15000·75 − 706.9·52.5)/(15000 − 706.9) = 76.11 mm
完整的板关于 ȳ
100·150³/12 + 15000·−1.113² = 28.14 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·30⁴/64 + 706.9·−23.61² = 0.4339 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 27.71 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 27.71 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 330.4 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (45000·150 − 3000·195)/(45000 − 3000) = 146.8 mm
完整的板关于 ȳ
150·300³/12 + 45000·3.214² = 338 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
60·50³/12 + 3000·48.21² = 7.599 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 330.4 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 330.4 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 67.5 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·30, 50 − 110) = 135°
单元体上的角度
θp = 67.5°
答案
θp = 67.5°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: n = 3.195
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 30 MPa, R = 60.83 MPa
σ1 = 90.83 MPa, σ2 = −30.83 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(90.83² − 90.83·(−30.83) + (−30.83)²) = 109.5 MPa
n = 350/109.5 = 3.195
答案
n = 3.195
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
11.梁的挠度
答案: θA = 0.01205 rad
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
端部转角
θA = wL³/(24EI) = 15·6000³/(24·1.12 × 10¹³) = 0.01205 rad
答案
θA = 0.01205 rad
即 0.6906°。
12.梁的挠度
答案: δmax = 1.653 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 11000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 11000·3000³/(48·1.14 × 10¹³) = 0.5428 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 1.11 mm
相加
δmax = 0.5428 + 1.11 = 1.653 mm
答案
δmax = 1.653 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 17.58 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
计算长度
KL = 2·2500 = 5000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/5000² = 17581 N = 17.58 kN
答案
Pcr = 17.58 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 65.19 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·35000 = 70000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 65.19 mm
答案
d = 65.19 mm
校核：长细比 KL/r 为 306.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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