轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa）放在一根青铜管（外径 120 mm，内径 70 mm，E = 110 GPa）内。二者长度均为 400 mm，在刚性板之间被 80 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 80 kN杆: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 80 kN第 1 段：Ø25 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø12 mm，0.5 m，铝（E = 70 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 15 mm 的实心试件受 30 N·m 的扭矩作用。标距 400 mm 两端的相对转角为 3.55°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 30 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 3.55°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1500 rpm 下传递 15 kW，且切应力不超过 60 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 15 kWN = 1500 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mw = 2 kN/m，从 0 到 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mP = 25 kN 位于 1 mw = 5 kN/m，从 0 到 10 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
对称工字形截面的翼缘宽 220 mm、厚 10 mm，总高度 440 mm，腹板厚 10 mm。 求其对水平形心轴 x 的惯性矩 Ix。
B = 220 mmH = 440 mmtf = 10 mmtw = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 120 mm × 300 mm 的板有一个宽 60 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 90 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 300 mm切口: 60 × 30 mm孔心: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −20 MPa，σᵧ = 90 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = −20 MPaσy = 90 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 40 mm 的实心轴承受1500 N·m 的弯矩，同时承受 400 N·m 的扭矩。 在弯曲应力为拉应力且最大的上表面处， 求最大主应力 σ1。
d = 40 mmM = 1500 N·mT = 400 N·m
σ1 = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 15 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 6 mw = 10 kN/m
RB = kN
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.03482 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·7461 = 9.189 × 10⁸ N
缩短量
δ = 80000·400/9.189 × 10⁸ = 0.03482 mm
答案
δ = 0.03482 mm
2.轴向应力与应变
答案: δ = 7.142 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 163 MPa
σ2 = 707.4 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 163·1500/117000 = 2.089 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 707.4·500/70000 = 5.053 mm
δ = δ1 + δ2 = 7.142 mm
答案
δ = 7.142 mm
3.轴的扭转
答案: G = 38.97 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 3.55·π/180 = 0.06196 rad
剪切模量
T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·400/(4970·0.06196) = 38968 MPa
G = 38.97 GPa
答案
G = 38.97 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: d = 20.09 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 15000/157.1 = 95.49 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·95493/(π·60)) = 20.09 mm
答案
d = 20.09 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 4 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 2·4·2
RB = 16/4 = 4 kN
ΣFy = 0: RA = 8 − 4 = 4 kN
在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 4·2 − 2·2·1 = 4 kN·m
答案
Mx = 4 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 70 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 25·1 + 5·10·5
RB = 275/10 = 27.5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 27.5 = 47.5 kN
在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 47.5·3 − 25·(3 − 1) − 5·3·1.5 = 70 kN·m
答案
Mx = 70 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 265.2 × 10⁶ mm⁴
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 440 − 2·10 = 420 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (220·440³ − 210·420³)/12
Ix = 2.652 × 10⁸ mm⁴ = 265.2 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 265.2 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 263 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (36000·150 − 1800·90)/(36000 − 1800) = 153.2 mm
完整的板关于 ȳ
120·300³/12 + 36000·−3.158² = 270.4 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
60·30³/12 + 1800·−63.16² = 7.315 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 263 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 263 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 68.01 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((−20 − 90)/2)² + 40²) = 68.01 MPa
答案
τmax = 68.01 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σ1 = 242.9 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·40³) = 238.7 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·40³) = 31.83 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = 119.4 MPa
R = √(119.4² + 31.83²) = 123.5 MPa
σ1 = C + R = 242.9 MPa
σ2 = C − R = −4.171 MPa
答案
σ1 = 242.9 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 7.91 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 6000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·6000⁴/(384·3.2 × 10¹³) = 7.91 mm
答案
δmax = 7.91 mm
12.梁的挠度
答案: RB = 22.5 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = wL⁴/(8EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·6/8 = 22.5 kN
答案
RB = 22.5 kN
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 954.9 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/1050² = 954882 N = 954.9 kN
答案
Pcr = 954.9 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 4.318 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
回转半径和长细比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·4000 = 8000 mm
KL/r = 8000/20 = 400
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa
答案
σcr = 4.318 MPa
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