材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根杆由一段钢（直径 30 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 40 mm，长 200 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.25 mm 的轴向载荷 P。

第 1 段: 钢, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm

P = kN

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σ_max。

P = 40 kN第 1 段：Ø30 mm，1.5 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø16 mm，2 m，钢（E = 200 GPa）

σ_max = MPa

3.轴的扭转中等

一根阶梯形实心钢轴在 A 端固定。AB 段直径 50 mm，长 0.8 m；BC 段直径 40 mm，长 1.5 m。自由端 C 作用 400 N·m 的扭矩。求端部 C 的扭转角 φ_C，以度表示。

T = 400 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 0.8 md₂ = 40 mm, L₂ = 1.5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.轴的扭转困难

一根实心轴需在 750 rpm 下传递 50 kW，且切应力不超过 40 MPa。求满足要求的最小直径 d。

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

20 kN @ 3 m12 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求从 A 到弯矩最大截面的距离 x₀。

L = 6 mw = 12 kN/m，从 1 到 6 m

x₀ = m

7.形心和惯性矩中等

一块 100 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 150 mmd = 60 mm孔心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 40 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mmM = 40 kN·m

σ_底部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

某点 σₓ = 90 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 20 MPa（拉为正）。单元体按逆时针 50°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σ_y′。

σ_x = 90 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = −30 MPa，σᵧ = −30 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 50° 的截面上的切应力 τ_θ（正方向与 τₓᵧ 相同）。

σ_x = −30 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。

P = 3 kNw = 20 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 4 mw = 15 kN/m

R_B = kN

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 35 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 35 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: P = 42.84 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²

柔度

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1257) = 1.592 × 10⁻⁶ mm/N

载荷

P = 0.25/5.836 × 10⁻⁶ = 42840 N = 42.84 kN

答案

P = 42.84 kN

2.轴向应力与应变

答案: σ_max = 198.9 MPa

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 56.59 MPa

σ₂ = 198.9 MPa

最大应力

较细的一段面积较小，因此应力较大。

σ_max = 198.9 MPa

答案

σ_max = 198.9 MPa

3.轴的扭转

答案: φ_C = 2.083 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

各段的扭转角

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 400000·800/(80000·613592) = 0.006519 rad

φ_BC = 400000·1500/(80000·251327) = 0.02984 rad

总扭转角

φ_C = 0.006519 + 0.02984 = 0.03636 rad = 2.083°

答案

φ_C = 2.083°

4.轴的扭转

答案: d = 43.28 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 50000/78.54 = 636.6 N·m

由许用应力求直径

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·40)) = 43.28 mm

答案

d = 43.28 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

5.剪力和弯矩

答案: D (x = 3 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 46 kN, R₂ = 46 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 40, M_C = 68, M_D = 84 kN·m, M_E = 68, M_F = 40, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 84 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: x₀ = 3.083 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN，作用于 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·5·3.5

R_B = 210/6 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 35 = 25 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 25/12 = 3.083 m

答案

x₀ = 3.083 m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 24.35 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (15000·75 − 2827·105)/(15000 − 2827) = 68.03 mm

完整的板关于 ȳ

100·150³/12 + 15000·6.968² = 28.85 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·36.97² = 4.5 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 24.35 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 24.35 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 333.5 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187.5 mm

腹板: A_w = 12·180 = 2160 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·187.5 + 2160·90)/4860 = 144.2 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·15³/12 + 2700·(187.5 − 144.2)² = 5.121 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·180³/12 + 2160·(90 − 144.2)² = 1.217 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.121 × 10⁶ + 1.217 × 10⁷ = 1.729 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 144.2 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·144.2/1.729 × 10⁷ = 333.5 MPa

答案

σ_底部 = 333.5 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: σ_y′ = 78.57 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

y′ 面的变换公式

σ_y′ = 100 − (−10)·(−0.1736) − 20·0.9848 = 78.57 MPa

校核

正应力之和不随旋转而变化。

σ_x′ = 121.4 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 200 = σ_x + σ_y

答案

σ_y′ = 78.57 MPa

10.莫尔圆与应力变换

答案: τ_θ = −6.946 MPa

变换公式

τ_θ = −0·0.9848 + 40·−0.1736 = −6.946 MPa

答案

τ_θ = −6.946 MPa

11.梁的挠度

答案: δ = 9.109 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 3000 N, w = 20 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(3EI) = 3000·1500³/(3·1.76 × 10¹²) = 1.918 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·1.76 × 10¹²) = 7.191 mm

相加

δ = 1.918 + 7.191 = 9.109 mm

答案

δ = 9.109 mm

12.梁的挠度

答案: R_B = 22.5 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·4/8 = 22.5 kN

答案

R_B = 22.5 kN

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 25.38 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/1750² = 25379 N = 25.38 kN

答案

P_cr = 25.38 kN

14.柱的屈曲

答案: d = 57.67 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2.5·35000 = 87500 N

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 57.67 mm

答案

d = 57.67 mm

校核：长细比 KL/r 为 242.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials