材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根杆由一段钢（直径 20 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 30 mm，长 300 mm，E = 110 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.3 mm 的轴向载荷 P。

第 1 段: 钢, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

2.轴向应力与应变困难

一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa，许用应力 150 MPa）放在一根黄铜管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 100 GPa，许用应力 100 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 P_max。

杆: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.轴的扭转中等

在扭转试验中，一根直径 10 mm 的实心试件受 50 N·m 的扭矩作用。标距 250 mm 两端的相对转角为 9.12°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。

T = 50 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 9.12°

G = GPa

4.轴的扭转困难

一根实心轴需在 1450 rpm 下传递 10 kW，且切应力不超过 60 MPa。求满足要求的最小直径 d。

P = 10 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

10 kN @ 4 m10 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求支座 B 处的弯矩 M_B。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 7.5 mw = 6 kN/m，从 0 到 7.5 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m

M_B = kN·m

7.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 40 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmM = 40 kN·m

σ_顶部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

某点 σₓ = −80 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。单元体按逆时针 50°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σ_y′。

σ_x = −80 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

一个薄壁圆柱形储罐，内径 1500 mm，壁厚 8 mm，所盛气体的表压为 1.2 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 20° 的螺旋焊缝焊接而成。求沿焊缝作用的切应力 |τ_n| 的大小。

D = 1500 mmt = 8 mmp = 1.2 MPaα = 20°

|τ_n| = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 4 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 15 kNa = 4 mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 5 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: P = 22.38 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 706.9 mm²

柔度

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314.2) = 9.549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·706.9) = 3.858 × 10⁻⁶ mm/N

载荷

P = 0.3/1.341 × 10⁻⁵ = 22375 N = 22.38 kN

答案

P = 22.38 kN

2.轴向应力与应变

答案: P_max = 335.8 kN

面积

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·3063 = 4.477 × 10⁸ N

控制应变

ε = min(0.00075, 0.001) = 0.00075 (钢)

最大载荷

P_max = 0.00075·4.477 × 10⁸ = 335758 N = 335.8 kN

答案

P_max = 335.8 kN

3.轴的扭转

答案: G = 79.99 GPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩和角度

J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴

φ = 9.12·π/180 = 0.1592 rad

剪切模量

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·250/(981.7·0.1592) = 79990 MPa

G = 79.99 GPa

答案

G = 79.99 GPa

作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。

4.轴的扭转

答案: d = 17.75 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 10000/151.8 = 65.86 N·m

由许用应力求直径

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·65857/(π·60)) = 17.75 mm

答案

d = 17.75 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

5.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 11.67 kN, R₂ = 8.333 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 11.67, M_C = 13.33, M_D = 15, M_E = 16.67 kN·m, M_F = 8.333, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 16.67 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_B = −18.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·7.5 = 45 kN，作用于 x̄ = 3.75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·7.5·3.75

R_B = 168.8/5 = 33.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 33.75 = 11.25 kN

在 B 处截开，保留外伸段

外伸段上的荷载 w·a 作用在距 B 为 a/2 处，使梁在支座上方产生负弯矩。

M_B = −w·a²/2 = −6·2.5²/2 = −18.75 kN·m

答案

M_B = −18.75 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 22.93 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247.5 mm

腹板: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·247.5 + 1920·120)/3420 = 175.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·15³/12 + 1500·(247.5 − 175.9)² = 7.713 × 10⁶ mm⁴

腹板: 8·240³/12 + 1920·(120 − 175.9)² = 1.522 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.713 × 10⁶ + 1.522 × 10⁷ = 2.293 × 10⁷ mm⁴ = 22.93 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 22.93 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 81.75 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207.5 mm

腹板: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·207.5 + 2400·100)/6000 = 164.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 240·15³/12 + 3600·(207.5 − 164.5)² = 6.724 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·200³/12 + 2400·(100 − 164.5)² = 1.798 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.724 × 10⁶ + 1.798 × 10⁷ = 2.471 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 215 − 164.5 = 50.5 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·50.5/2.471 × 10⁷ = 81.75 MPa

答案

σ_顶部 = 81.75 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: σ_y′ = −55.83 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

y′ 面的变换公式

σ_y′ = −15 − (−65)·(−0.1736) − 30·0.9848 = −55.83 MPa

校核

正应力之和不随旋转而变化。

σ_x′ = 25.83 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −30 = σ_x + σ_y

答案

σ_y′ = −55.83 MPa

10.莫尔圆与应力变换

答案: |τ_n| = 18.08 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σ_h = pr/t，轴向应力 σ_a = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。

筒壁应力

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1.2·750/8 = 112.5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 56.25 MPa

变换到焊缝

取 x 沿轴线 (σ_a)，y 沿环向 (σ_h)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。

|τ_n| = (112.5 − 56.25)·sin 20°·cos 20° = 18.08 MPa

答案

|τ_n| = 18.08 MPa

11.梁的挠度

答案: δ_P = 33.13 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 15000 N, a = 4000 mm, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 15000·4000²·2000²/(3·1.61 × 10¹²·6000) = 33.13 mm

答案

δ_P = 33.13 mm

12.梁的挠度

答案: I_req = 5.232 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·2500⁴/(384·70000·6.944) = 5.232 × 10⁶ mm⁴

I_req = 5.232 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 5.232 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 21.06 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/2500² = 21055 N = 21.06 kN

答案

P_cr = 21.06 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 7.896 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

回转半径和长细比

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/5 = 500

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7.896 MPa

答案

σ_cr = 7.896 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials