轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 60 mm，长 500 mm，E = 120 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.5 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 115 kN第 1 段：Ø25 mm，0.5 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 15 mm 的实心试件受 20 N·m 的扭矩作用。标距 400 mm 两端的相对转角为 3.55°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 20 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 3.55°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1800 rpm 下传递 15 kW，且切应力不超过 80 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 15 kWN = 1800 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
40 kN @ 2 m50 kN @ 1 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
15 kN @ 0 m25 kN @ 6 m8 kN/m, 1–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.形心和惯性矩中等
槽形截面开口朝上：由宽 260 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 150 mm。底板和两肢厚度均为 18 mm。 求形心到底边的高度 ȳ。
b = 260 mmh = 150 mmt = 18 mm
ȳ = mm
8.形心和惯性矩困难
铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 30 MPa，容许压应力为 90 MPa。 求梁能承受的最大正弯矩 Mallow。
bf = 140 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 260 mmσt,allow = 30 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 150 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = 150 MPaσy = −70 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 160 MPa，σᵧ = −30 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 250 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 160 MPaσy = −30 MPaτxy = 30 MPaσY = 250 MPa
n =
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θA，以弧度表示。
w = 20 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 15 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (结构木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 110.4 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 2827 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490.9) = 3.056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·2827) = 1.474 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.5/4.529 × 10⁻⁶ = 110389 N = 110.4 kN
答案
P = 110.4 kN
2.轴向应力与应变
答案: δ = 9.276 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 234.3 MPa
σ2 = 1017 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 234.3·500/200000 = 0.5857 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 1017·1000/117000 = 8.691 mm
δ = δ1 + δ2 = 9.276 mm
答案
δ = 9.276 mm
3.轴的扭转
答案: G = 25.98 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 3.55·π/180 = 0.06196 rad
剪切模量
T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·400/(4970·0.06196) = 25979 MPa
G = 25.98 GPa
答案
G = 25.98 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: d = 17.17 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 15000/188.5 = 79.58 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·79577/(π·80)) = 17.17 mm
答案
d = 17.17 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: C (x = 2 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 68.33 kN, R2 = 21.67 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 68.33, MC = 86.67 kN·m, MD = 65, ME = 43.33, MF = 21.67, MG = 0
答案
标记点 C: MC = 86.67 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: E (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 15.33 kN, R2 = 48.67 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −15, MC = −18.67, MD = −30.33, ME = −50 kN·m, MF = −25, MG = 0
答案
标记点 E: ME = −50 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: ȳ = 46.79 mm
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成若干矩形
底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。
基质: A1 = 260·18 = 4680 mm², y1 = 9 mm
两肢: A2 = 2·18·132 = 4752 mm², y2 = 18 + 132/2 = 84 mm
形心
ȳ = (4680·9 + 4752·84)/9432 = 46.79 mm
答案
ȳ = 46.79 mm
8.形心和惯性矩
答案: Mallow = 8.492 kN·m
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
形心
ȳ = (2100·267.5 + 4160·130)/6260 = 176.1 mm
上边缘: c = 275 − 176.1 = 98.87 mm
惯性矩
I = 140·15³/12 + 2100·91.37² + 16·260³/12 + 4160·46.13² = 4.986 × 10⁷ mm⁴
每个边缘允许的弯矩
正弯矩：上侧受压，下侧受拉。
上边缘: M = 90·4.986 × 10⁷/98.87 = 45.38 kN·m
下边缘: M = 30·4.986 × 10⁷/176.1 = 8.492 kN·m
控制值
Mallow = min = 8.492 kN·m (下边缘)
答案
Mallow = 8.492 kN·m
9.莫尔圆与应力变换
答案: θs = −37.37 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = 30/114 = 0.2631, sin 2θs = −110/114 = −0.9648
2θs = atan2(−110, 30) = −74.74°
单元体上的角度
θs = −37.37°
校核: θs − θp = −37.37 − 7.628 = −45°
答案
θs = −37.37°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: n = 1.356
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 65 MPa, R = 99.62 MPa
σ1 = 164.6 MPa, σ2 = −34.62 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(164.6² − 164.6·(−34.62) + (−34.62)²) = 184.4 MPa
n = 250/184.4 = 1.356
答案
n = 1.356
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
11.梁的挠度
答案: θA = 0.003922 rad
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 20 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
端部转角
θA = wL³/(24EI) = 20·2000³/(24·1.7 × 10¹²) = 0.003922 rad
答案
θA = 0.003922 rad
即 0.2247°。
12.梁的挠度
答案: Ireq = 99.88 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·2500⁴/(384·11000·6.944) = 9.988 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 99.88 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 99.88 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 992.2 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 2·1000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992.2 kN
答案
Pcr = 992.2 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 17.27 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/12.5 = 200
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa
答案
σcr = 17.27 MPa
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