轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 50 mm，长 200 mm，E = 70 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.3 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 80 kN第 1 段：Ø35 mm，0.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø16 mm，0.5 m，铝（E = 70 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根空心黄铜轴（外径 60 mm，内径 42 mm，长 1.5 m）一端固定，另一端受 250 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 250 N·mdo = 60 mmdi = 42 mmL = 1.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 30 mm 的实心铝轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 1.5 m、距 B 1.2 m 的 C 处施加 250 N·m 的扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 30 mmT0 = 250 N·ma = 1.5 mb = 1.2 m
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
25 kN @ 2 m6 kN/m, 0–6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 4 mP = 20 kN 位于 1.5 mw = 10 kN/m，从 0 到 4 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 260 mmtf = 30 mmtw = 18 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 100 mm × 200 mm 的板有一个宽 40 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 100 mmh = 200 mm切口: 40 × 40 mm孔心: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −60 MPa，σᵧ = −20 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = −60 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −80 MPa，σᵧ = 90 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 60° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −80 MPaσy = 90 MPaτxy = −10 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 6 mw = 12 kN/m
RB = kN
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 39.65 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1963) = 1.455 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.3/7.567 × 10⁻⁶ = 39648 N = 39.65 kN
答案
P = 39.65 kN
2.轴向应力与应变
答案: δ = 3.258 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 83.15 MPa
σ2 = 397.9 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 83.15·500/100000 = 0.4158 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 397.9·500/70000 = 2.842 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.258 mm
答案
δ = 3.258 mm
3.轴的扭转
答案: φ = 0.5698 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴
扭转角
T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 250000·1500/(39000·966855) = 0.009945 rad
φ = 0.009945·180/π = 0.5698°
答案
φ = 0.5698°
4.轴的扭转
答案: τmax = 26.2 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·1.2/2.7 = 111.1 N·m
TB = 250·1.5/2.7 = 138.9 N·m
最大切应力
两个扭矩中较大者起控制作用（直径相同）。
τmax = 16·138889/(π·30³) = 26.2 MPa
答案
τmax = 26.2 MPa
5.剪力和弯矩
答案: C (x = 2 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 34.67 kN, R2 = 26.33 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 31.67, MC = 57.33 kN·m, MD = 52, ME = 40.67, MF = 23.33, MG = 0
答案
标记点 C: MC = 57.33 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 37.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·1.5 + 10·4·2
RB = 110/4 = 27.5 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 27.5 = 32.5 kN
V = 0 在哪里？
V(1.5⁻) = RA − w·1.5 = 17.5 kN
V(1.5⁺) = 17.5 − 20 = −2.5 kN
剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。
最大弯矩
Mmax = RA·1.5 − w·1.5²/2 = 32.5·1.5 − 10·1.5²/2 = 37.5 kN·m
答案
Mmax = 37.5 kN·m
它出现在距 A 为 x = 1.5 m 处。
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 45.16 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 260·30 = 7800 mm², yf = 200 + 30/2 = 215 mm
腹板: Aw = 18·200 = 3600 mm², yw = 200/2 = 100 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7800·215 + 3600·100)/11400 = 178.7 mm
平行移轴定理
翼缘: 260·30³/12 + 7800·(215 − 178.7)² = 1.087 × 10⁷ mm⁴
腹板: 18·200³/12 + 3600·(100 − 178.7)² = 3.429 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.087 × 10⁷ + 3.429 × 10⁷ = 4.516 × 10⁷ mm⁴ = 45.16 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 45.16 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 65.76 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (20000·100 − 1600·120)/(20000 − 1600) = 98.26 mm
完整的板关于 ȳ
100·200³/12 + 20000·1.739² = 66.73 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
40·40³/12 + 1600·21.74² = 0.9695 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 65.76 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 65.76 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 36.06 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((−60 − −20)/2)² + 30²) = 36.06 MPa
答案
τmax = 36.06 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 38.84 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 5 + −85·−0.5 + −10·0.866 = 38.84 MPa
答案
σθ = 38.84 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 5.556 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 5.556 mm
答案
δmax = 5.556 mm
12.梁的挠度
答案: RB = 27 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = wL⁴/(8EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·12·6/8 = 27 kN
答案
RB = 27 kN
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 79.96 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·1500 = 750 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/750² = 79962 N = 79.96 kN
答案
Pcr = 79.96 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 21.93 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
回转半径和长细比
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/5 = 300
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa
答案
σcr = 21.93 MPa
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