轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 20 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 30 mm，长 400 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.4 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa，许用应力 250 MPa）放在一根黄铜管（外径 120 mm，内径 50 mm，E = 100 GPa，许用应力 70 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.轴的扭转中等
一根空心铝轴（外径 80 mm，内径 40 mm，长 2 m）一端固定，另一端受 1000 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 1000 N·mdo = 80 mmdi = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 1000 rpm 下传递 75 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 75 kWN = 1000 rpmdo = 75 mmdi = 45 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
50 kN @ 6 m10 kN/m, 0–12 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mP = 55 kN 位于 3 mw = 5 kN/m，从 0 到 6 mx = 2 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 150 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 150 mmh = 300 mmd = 40 mm孔心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 60 MPa，容许压应力为 120 MPa。 求梁能承受的最大正弯矩 Mallow。
bf = 160 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 180 mmσt,allow = 60 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 100 MPa，σᵧ = 90 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 100 MPaσy = 90 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 110 MPa，σᵧ = 100 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（σz = 0）。 求冯·米塞斯等效应力 σvM。
σx = 110 MPaσy = 100 MPaτxy = 20 MPa
σvM = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 3.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 3 kNa = 3.5 mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 5 mP = 35 kN 位于 2.5 m
RB = kN
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 90 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 90 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 26.3 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314.2) = 9.549 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·706.9) = 5.659 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.4/1.521 × 10⁻⁵ = 26302 N = 26.3 kN
答案
P = 26.3 kN
2.轴向应力与应变
答案: Pmax = 830.2 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·9346 = 1.186 × 10⁹ N
控制应变
ε = min(0.00125, 0.0007) = 0.0007 (黄铜)
最大载荷
Pmax = 0.0007·1.186 × 10⁹ = 830166 N = 830.2 kN
答案
Pmax = 830.2 kN
3.轴的扭转
答案: φ = 1.169 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3.77 × 10⁶ mm⁴
扭转角
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·2000/(26000·3.77 × 10⁶) = 0.0204 rad
φ = 0.0204·180/π = 1.169°
答案
φ = 1.169°
4.轴的扭转
答案: τmax = 9.933 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m
极惯性矩
J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2.704 × 10⁶ mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 716197·37.5/2.704 × 10⁶ = 9.933 MPa
答案
τmax = 9.933 MPa
5.剪力和弯矩
答案: D (x = 6 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 85 kN, R2 = 85 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 150, MC = 260, MD = 330 kN·m, ME = 260, MF = 150, MG = 0
答案
标记点 D: MD = 330 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 75 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·3 + 5·6·3
RB = 255/6 = 42.5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 42.5 = 42.5 kN
在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 42.5·2 − 5·2·1 = 75 kN·m
答案
Mx = 75 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 334.8 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (45000·150 − 1257·105)/(45000 − 1257) = 151.3 mm
完整的板关于 ȳ
150·300³/12 + 45000·−1.293² = 337.6 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·40⁴/64 + 1257·−46.29² = 2.819 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 334.8 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 334.8 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Mallow = 9.107 kN·m
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
形心
ȳ = (1600·185 + 3240·90)/4840 = 121.4 mm
上边缘: c = 190 − 121.4 = 68.6 mm
惯性矩
I = 160·10³/12 + 1600·63.6² + 18·180³/12 + 3240·31.4² = 1.843 × 10⁷ mm⁴
每个边缘允许的弯矩
正弯矩：上侧受压，下侧受拉。
上边缘: M = 120·1.843 × 10⁷/68.6 = 32.24 kN·m
下边缘: M = 60·1.843 × 10⁷/121.4 = 9.107 kN·m
控制值
Mallow = min = 9.107 kN·m (下边缘)
答案
Mallow = 9.107 kN·m
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −37.98 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−20, 100 − 90) = −75.96°
单元体上的角度
θp = −37.98°
答案
θp = −37.98°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σvM = 110.9 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 105 MPa, R = 20.62 MPa
σ1 = 125.6 MPa, σ2 = 84.38 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(125.6² − 125.6·84.38 + 84.38²) = 110.9 MPa
答案
σvM = 110.9 MPa
11.梁的挠度
答案: δP = 7.926 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 3000 N, a = 3500 mm, b = 2500 mm, L = 6000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 3000·3500²·2500²/(3·1.61 × 10¹²·6000) = 7.926 mm
答案
δP = 7.926 mm
12.梁的挠度
答案: RB = 10.94 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·35/16 = 10.94 kN
答案
RB = 10.94 kN
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 78.48 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
计算长度
KL = 2·2000 = 4000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78.48 kN
答案
Pcr = 78.48 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 61.72 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·90000 = 225000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 61.72 mm
答案
d = 61.72 mm
校核：长细比 KL/r 为 162，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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