材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa）放在一根黄铜管（外径 120 mm，内径 70 mm，E = 100 GPa）内。二者长度均为 300 mm，在刚性板之间被 80 kN 的力一起压缩。求缩短量 δ。

P = 80 kN杆: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。

P = 90 kN第 1 段：Ø25 mm，0.5 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø20 mm，2 m，黄铜（E = 100 GPa）

δ = mm

3.轴的扭转中等

一根长 2.5 m 的实心黄铜轴承受 500 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 2°。求满足该限值的最小直径 d。

T = 500 N·mL = 2.5 mG = 39 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.轴的扭转困难

一根空心轴在 1800 rpm 下传递 100 kW。求轴中的最大切应力 τ_max。

P = 100 kWN = 1800 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 6 mP = 35 kN 位于 2 mw = 8 kN/m，从 0 到 6 m

M_max = kN·m

7.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

对称工字形截面的翼缘宽 120 mm、厚 16 mm，总高度 200 mm，腹板厚 6 mm。截面承受绕 x 轴的弯矩 50 kN·m。求截面中最大弯曲应力 σ_max 的大小。

B = 120 mmH = 200 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mmM = 50 kN·m

σ_max = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

某点 σₓ = 0 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θ_s（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。

σ_x = 0 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 150 MPa，σᵧ = −50 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 45° 的截面上的正应力 σ_θ。

σ_x = 150 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 0.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 25 kNa = 0.5 mL = 2.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.梁的挠度困难

一根矩形截面的简支木梁，宽 75 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/300。求截面的最小高度 h_req。

w = 1.5 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 75 mm

h_req = mm

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 70 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 70 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 0.02843 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·7461 = 8.443 × 10⁸ N

缩短量

δ = 80000·300/8.443 × 10⁸ = 0.02843 mm

答案

δ = 0.02843 mm

2.轴向应力与应变

答案: δ = 7.039 mm

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 183.3 MPa

σ₂ = 286.5 MPa

叠加各段伸长量

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 183.3·500/70000 = 1.31 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 286.5·2000/100000 = 5.73 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7.039 mm

答案

δ = 7.039 mm

3.轴的扭转

答案: d = 55.3 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

所需的极惯性矩

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2.5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 2·π/180 = 0.03491 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·2500/(39000·0.03491) = 918202 mm⁴

直径

d = (32J/π)^1/4 = 55.3 mm

答案

d = 55.3 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

4.轴的扭转

答案: τ_max = 16.46 MPa

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 100000/188.5 = 530.5 N·m

极惯性矩

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

最大切应力

τ_max = T·(d_o/2)/J = 530516·30/966855 = 16.46 MPa

答案

τ_max = 16.46 MPa

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 9 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·4·2

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 12·3 − 6·3·1.5 = 9 kN·m

答案

M_x = 9 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 78.67 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·2 + 8·6·3

R_B = 214/6 = 35.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 35.67 = 47.33 kN

V = 0 在哪里？

V(2⁻) = R_A − w·2 = 31.33 kN

V(2⁺) = 31.33 − 35 = −3.667 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 47.33·2 − 8·2²/2 = 78.67 kN·m

答案

M_max = 78.67 kN·m

它出现在距 A 为 x = 2 m 处。

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 102.7 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

腹板: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·310 + 5400·150)/9800 = 221.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·20³/12 + 4400·(310 − 221.8)² = 3.435 × 10⁷ mm⁴

腹板: 18·300³/12 + 5400·(150 − 221.8)² = 6.837 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.435 × 10⁷ + 6.837 × 10⁷ = 1.027 × 10⁸ mm⁴ = 102.7 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 102.7 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_max = 143 MPa

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 200 − 2·16 = 168 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·200³ − 114·168³)/12

I_x = 3.495 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

y = 100 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·100/3.495 × 10⁷ = 143 MPa

答案

σ_max = 143 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: θ_s = 20.59 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。

cos 2θ_s = 40/53.15 = 0.7526, sin 2θ_s = −(−35)/53.15 = 0.6585

2θ_s = atan2(35, 40) = 41.19°

单元体上的角度

θ_s = 20.59°

校核: θ_s − θ_p = 20.59 − 65.59 = −45°

答案

θ_s = 20.59°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ_θ = 100 MPa

变换公式

σ_θ = 50 + 100·0 + 50·1 = 100 MPa

答案

σ_θ = 100 MPa

11.梁的挠度

答案: δ_P = 2.63 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 25000 N, a = 500 mm, L = 2500 mm

EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa³/(3EI) = 25000·500³/(3·3.96 × 10¹¹) = 2.63 mm

答案

δ_P = 2.63 mm

12.梁的挠度

答案: h_req = 198 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 1.5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δ_allow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

所需惯性矩

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1.5·4500⁴/(384·11000·15) = 4.854 × 10⁷ mm⁴

所需高度

bh³/12 = I_req → h = (12·4.854 × 10⁷/75)^1/3 = 198 mm

答案

h_req = 198 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 25.7 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/2000² = 25702 N = 25.7 kN

答案

P_cr = 25.7 kN

14.柱的屈曲

答案: d = 84.92 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 84.92 mm

答案

d = 84.92 mm

校核：长细比 KL/r 为 282.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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