轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 50 mm，长 300 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.4 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 50 kN第 1 段：Ø35 mm，1 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø12 mm，2 m，铜（E = 117 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根阶梯形实心铝轴在 A 端固定。AB 段直径 75 mm，长 0.8 m；BC 段直径 50 mm，长 1 m。自由端 C 作用 1000 N·m 的扭矩。 求端部 C 的扭转角 φC，以度表示。
T = 1000 N·md1 = 75 mm, L1 = 0.8 md2 = 50 mm, L2 = 1 mG = 26 GPa
φC = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 1500 rpm 下传递 5 kW。 其内径为外径的 0.8 倍，切应力不得超过 80 MPa。求最小外径 do。
P = 5 kWN = 1500 rpmdi/do = 0.8τallow = 80 MPa
do = mm
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mw = 5 kN/m，从 0 到 10 mx = 3.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 4 mP = 45 kN 位于 2 mw = 12 kN/m，从 0 到 4 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
对称工字形截面的翼缘宽 220 mm、厚 14 mm，总高度 500 mm，腹板厚 6 mm。 求其绕水平形心轴 x 弯曲时的弹性抗弯截面系数 Sx。
B = 220 mmH = 500 mmtf = 14 mmtw = 6 mm
Sx = × 10³ mm³
8.形心和惯性矩困难
一块 150 mm × 240 mm 的板有一个宽 50 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 84 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 150 mmh = 240 mm切口: 50 × 20 mm孔心: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 140 MPa，σᵧ = −30 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 140 MPaσy = −30 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −10 MPa，σᵧ = 20 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 45° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = −10 MPaσy = 20 MPaτxy = −40 MPaθ = -45°
τθ = MPa
11.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。
P = 27 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 100 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 hreq。
w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)b = 100 mm
hreq = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 60.42 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490.9) = 5.093 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1963) = 1.528 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.4/6.621 × 10⁻⁶ = 60415 N = 60.42 kN
答案
P = 60.42 kN
2.轴向应力与应变
答案: δ = 8.3 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 51.97 MPa
σ2 = 442.1 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 51.97·1000/70000 = 0.7424 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 442.1·2000/117000 = 7.557 mm
δ = δ1 + δ2 = 8.3 mm
答案
δ = 8.3 mm
3.轴的扭转
答案: φC = 4.159 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J1 = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
各段的扭转角
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 1 × 10⁶·800/(26000·3.106 × 10⁶) = 0.009905 rad
φBC = 1 × 10⁶·1000/(26000·613592) = 0.06268 rad
总扭转角
φC = 0.009905 + 0.06268 = 0.07259 rad = 4.159°
答案
φC = 4.159°
4.轴的扭转
答案: do = 15.08 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 5000/157.1 = 31.83 N·m
由容许应力求外径
T = 31.83 N·m = 31831 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·31831/(π·80·0.5904)) = 15.08 mm
di = 0.8·15.08 = 12.07 mm
答案
do = 15.08 mm
实心轴需要 d = 12.65 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 56.88 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 5·10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 25·3.5 − 5·3.5·1.75 = 56.88 kN·m
答案
Mx = 56.88 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 69 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·2 + 12·4·2
RB = 186/4 = 46.5 kN
ΣFy = 0: RA = 93 − 46.5 = 46.5 kN
V = 0 在哪里？
V(2⁻) = RA − w·2 = 22.5 kN
V(2⁺) = 22.5 − 45 = −22.5 kN
剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。
最大弯矩
Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 46.5·2 − 12·2²/2 = 69 kN·m
答案
Mmax = 69 kN·m
它出现在距 A 为 x = 2 m 处。
7.形心和惯性矩
答案: Sx = 1666 × 10³ mm³
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 500 − 2·14 = 472 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (220·500³ − 214·472³)/12
Ix = 4.164 × 10⁸ mm⁴
抗弯截面系数
c = H/2 = 250 mm
Sx = I/c = 4.164 × 10⁸/250
Sx = 1.666 × 10⁶ mm³ = 1666 × 10³ mm³
答案
Sx = 1666 × 10³ mm³
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 171.4 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (36000·120 − 1000·84)/(36000 − 1000) = 121 mm
完整的板关于 ȳ
150·240³/12 + 36000·−1.029² = 172.8 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
50·20³/12 + 1000·−37.03² = 1.404 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 171.4 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 171.4 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −17.61 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−60, 140 − −30) = −35.22°
单元体上的角度
θp = −17.61°
答案
θp = −17.61°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = −15 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −−15·−1 + −40·0 = −15 MPa
答案
τθ = −15 MPa
11.梁的挠度
答案: δ = 36.51 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 27000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(3EI) = 27000·2000³/(3·2.52 × 10¹²) = 28.57 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·2.52 × 10¹²) = 7.937 mm
相加
δ = 28.57 + 7.937 = 36.51 mm
答案
δ = 36.51 mm
12.梁的挠度
答案: hreq = 156.5 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/250 = 3000/250 = 12 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·12) = 3.196 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·3.196 × 10⁷/100)1/3 = 156.5 mm
答案
hreq = 156.5 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 37.85 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
计算长度
KL = 1·4000 = 4000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4000² = 37849 N = 37.85 kN
答案
Pcr = 37.85 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 4.441 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/15 = 666.7
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666.7² = 4.441 MPa
答案
σcr = 4.441 MPa
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