轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求黄铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 110 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 20 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 30 mm，长 400 mm，E = 100 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 30 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 750 N·md = 50 mmL = 0.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 25 mm 的实心铝轴在 A 端固定。距 A 1.2 m 的 B 处作用 750 N·m 的扭矩，再往前 3 m 的自由端 C 处作用一个反向的 200 N·m 扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 25 mmTB = 750 N·mTC = 200 N·mAB = 1.2 mBC = 3 m
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mw = 4 kN/m，从 0 到 10 mx = 3 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 8 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mP = 35 kN 位于 8 mw = 5 kN/m，从 0 到 10 mx = 8 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 200 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 96 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 200 mmh = 240 mmd = 40 mm孔心: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 120 mm × 300 mm 的板有一个宽 40 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 195 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 300 mm切口: 40 × 20 mm孔心: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 80 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。单元体按逆时针 30°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σy′。
σx = 80 MPaσy = 20 MPaτxy = 50 MPaθ = 30°
σy′ = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 30 MPa，σᵧ = −70 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 25° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = 30 MPaσy = −70 MPaτxy = 30 MPaθ = 25°
τθ = MPa
11.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 5 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 45 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 45 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 5.602 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 110·1000/490.9 = 224.1 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 224.1/100000 = 0.002241 = 2241 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.002241·2500 mm = 5.602 mm
答案
δ = 5.602 mm
2.轴向应力与应变
答案: σ2 = 26.65 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 100000·706.9/400 = 176715 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 30000·176715/281434 = 18837 N
应力
σ2 = 18837/706.9 = 26.65 MPa （压缩）
答案
σ2 = 26.65 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 0.4377 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(80000·613592) = 0.007639 rad
φ = 0.007639·180/π = 0.4377°
答案
φ = 0.4377°
4.轴的扭转
答案: τmax = 179.3 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC − TB = 200 − 750 = −550 N·m
最大切应力
内扭矩最大的一段应力最大（直径相同）。
|T|max = 550 N·m
τmax = 16·550000/(π·25³) = 179.3 MPa
答案
τmax = 179.3 MPa
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 42 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 4·10·5
RB = 200/10 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 20·3 − 4·3·1.5 = 42 kN·m
答案
Mx = 42 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 96 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 35·8 + 5·10·5
RB = 530/10 = 53 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 53 = 32 kN
在 x = 8 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 32·8 − 5·8·4 = 96 kN·m
答案
Mx = 96 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 229.5 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (48000·120 − 1257·96)/(48000 − 1257) = 120.6 mm
完整的板关于 ȳ
200·240³/12 + 48000·−0.6452² = 230.4 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·40⁴/64 + 1257·−24.65² = 0.8889 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 229.5 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 229.5 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 268.3 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (36000·150 − 800·195)/(36000 − 800) = 149 mm
完整的板关于 ȳ
120·300³/12 + 36000·1.023² = 270 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
40·20³/12 + 800·46.02² = 1.721 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 268.3 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 268.3 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: σy′ = −8.301 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
y′ 面的变换公式
σy′ = 50 − 30·0.5 − 50·0.866 = −8.301 MPa
校核
正应力之和不随旋转而变化。
σx′ = 108.3 MPa, σx′ + σy′ = 100 = σx + σy
答案
σy′ = −8.301 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = −19.02 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −50·0.766 + 30·0.6428 = −19.02 MPa
答案
τθ = −19.02 MPa
11.梁的挠度
答案: δ = 48.21 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 5 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 5·6000⁴/(8·1.68 × 10¹³) = 48.21 mm
答案
δ = 48.21 mm
12.梁的挠度
答案: Ireq = 7.191 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·1500⁴/(384·11000·4.167) = 7.191 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 7.191 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 7.191 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 79.96 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·1500 = 750 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/750² = 79962 N = 79.96 kN
答案
Pcr = 79.96 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 99.88 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 99.88 mm
答案
d = 99.88 mm
校核：长细比 KL/r 为 200.2，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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