材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

求铝杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。

P = 90 kNd = 20 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.轴向应力与应变困难

一段钢（直径 25 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 50 mm，长 200 mm，E = 110 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 30 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ₂。

第 1 段: 钢, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.轴的扭转中等

一根长 2.5 m 的实心铝轴承受 500 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 3°。求满足该限值的最小直径 d。

T = 500 N·mL = 2.5 mG = 26 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.轴的扭转困难

一根空心轴在 1450 rpm 下传递 75 kW。求轴中的最大切应力 τ_max。

P = 75 kWN = 1450 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.剪力和弯矩中等

简支梁在距 A 为 x = 3 m 处承受一个顺时针力偶 M₀ = 40 kN·m，没有其他荷载。求力偶左侧紧邻处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mM₀ = 40 kN·m 顺时针，作用于 3 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 60 kN 位于 1 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

7.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 35 MPa，容许压应力为 120 MPa。求梁能承受的最大负弯矩 M_allow（给出其大小）。

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.莫尔圆与应力变换中等

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 80 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = −30 MPa，σ_z = 0。求该点的绝对最大切应力 τ_abs（考虑三维中所有平面）。

σ_x = 80 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 150 MPa，σᵧ = 20 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 50° 的截面上的正应力 σ_θ。

σ_x = 150 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 2 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 6 mw = 10 kN/m

R_B = kN

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 85 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 85 kNn = 2.5L = 6 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: ε = 4093 µε

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 90·1000/314.2 = 286.5 MPa

应变（胡克定律）

E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 286.5/70000 = 0.004093 = 4093 µε

答案

ε = 4093 µε

2.轴向应力与应变

答案: σ₂ = 12.93 MPa

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

刚度

k₁ = 200000·490.9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 110000·1963/200 = 1.08 × 10⁶ N/mm

第 2 段的份额

F₂ = 30000·1.08 × 10⁶/1.276 × 10⁶ = 25385 N

应力

σ₂ = 25385/1963 = 12.93 MPa （压缩）

答案

σ₂ = 12.93 MPa

3.轴的扭转

答案: d = 55.3 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

所需的极惯性矩

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2.5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 3·π/180 = 0.05236 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·2500/(26000·0.05236) = 918202 mm⁴

直径

d = (32J/π)^1/4 = 55.3 mm

答案

d = 55.3 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

4.轴的扭转

答案: τ_max = 51.72 MPa

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 75000/151.8 = 493.9 N·m

极惯性矩

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

最大切应力

τ_max = T·(d_o/2)/J = 493929·20/190984 = 51.72 MPa

答案

τ_max = 51.72 MPa

5.剪力和弯矩

答案: M_x = −12 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：R_B·L − M₀ = 0。竖向平衡：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 40/10 = 4 kN (向上)

R_A = −R_B = −4 kN (向下)

在力偶左侧紧邻处截开

左侧部分只包含 R_A。

M_x = R_A·a = −4·3 = −12 kN·m

答案

M_x = −12 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 27.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·1 + 6·4·2

R_B = 108/4 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 27 = 57 kN

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 57·0.5 − 6·0.5·0.25 = 27.75 kN·m

答案

M_x = 27.75 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 45.91 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212.5 mm

腹板: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·212.5 + 4000·100)/11000 = 171.6 mm

平行移轴定理

翼缘: 280·25³/12 + 7000·(212.5 − 171.6)² = 1.208 × 10⁷ mm⁴

腹板: 20·200³/12 + 4000·(100 − 171.6)² = 3.383 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.208 × 10⁷ + 3.383 × 10⁷ = 4.591 × 10⁷ mm⁴ = 45.91 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 45.91 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: M_allow = 21.19 kN·m

形心

ȳ = (3000·292.5 + 2800·140)/5800 = 218.9 mm

上边缘: c = 305 − 218.9 = 86.12 mm

惯性矩

I = 120·25³/12 + 3000·73.62² + 10·280³/12 + 2800·78.88² = 5.213 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

负弯矩：上侧受拉，下侧受压。

上边缘: M = 35·5.213 × 10⁷/86.12 = 21.19 kN·m

下边缘: M = 120·5.213 × 10⁷/218.9 = 28.58 kN·m

控制值

M_allow = min = 21.19 kN·m (上边缘)

答案

M_allow = 21.19 kN·m

9.莫尔圆与应力变换

答案: τ_abs = 67.08 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σ_max − σ_min)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。

面内主应力

C = 20 MPa, R = √(60² + (−30)²) = 67.08 MPa

σ₁ = 87.08 MPa, σ₂ = −47.08 MPa, σ_z = 0

三个圆中最大的

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(134.2, 87.08, 47.08)/2 = 67.08 MPa

答案

τ_abs = 67.08 MPa

这里 σ₁ 和 σ₂ 异号，所以面内最大值 R 也就是绝对最大值。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ_θ = 63.86 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

变换公式

σ_θ = 85 + 65·−0.1736 + −10·0.9848 = 63.86 MPa

答案

σ_θ = 63.86 MPa

11.梁的挠度

答案: δ = 65.1 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 2·5000⁴/(8·2.4 × 10¹²) = 65.1 mm

答案

δ = 65.1 mm

12.梁的挠度

答案: R_B = 22.5 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·6/8 = 22.5 kN

答案

R_B = 22.5 kN

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 71.19 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4200² = 71188 N = 71.19 kN

答案

P_cr = 71.19 kN

14.柱的屈曲

答案: d = 94.26 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2.5·85000 = 212500 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 94.26 mm

答案

d = 94.26 mm

校核：长细比 KL/r 为 254.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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