材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根杆由一段钢（直径 20 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 60 mm，长 500 mm，E = 120 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.4 mm 的轴向载荷 P。

第 1 段: 钢, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

2.轴向应力与应变困难

一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa，许用应力 150 MPa）放在一根铝管（外径 120 mm，内径 60 mm，E = 70 GPa，许用应力 50 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 P_max。

杆: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.轴的扭转中等

一根阶梯形实心铝轴在 A 端固定。AB 段直径 40 mm，长 2 m；BC 段直径 30 mm，长 0.8 m。自由端 C 作用 1000 N·m 的扭矩。求轴中的最大切应力 τ_max。

T = 1000 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 2 md₂ = 30 mm, L₂ = 0.8 m

τ_max = MPa

4.轴的扭转困难

一根空心轴须在 1450 rpm 下传递 50 kW。其内径为外径的 0.5 倍，切应力不得超过 75 MPa。求最小外径 d_o。

P = 50 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0.5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 3 kN/m，从 0 到 4 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 0 m40 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

对称工字形截面的翼缘宽 160 mm、厚 22 mm，总高度 240 mm，腹板厚 12 mm。截面承受绕 x 轴的弯矩 120 kN·m。求截面中最大弯曲应力 σ_max 的大小。

B = 160 mmH = 240 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mmM = 120 kN·m

σ_max = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = −20 MPa，σᵧ = −20 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。求面内最大切应力 τ_max。

σ_x = −20 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

一根直径 60 mm 的实心轴承受300 N·m 的弯矩，同时承受 2000 N·m 的扭矩。在弯曲应力为拉应力且最大的上表面处，求面内最大切应力 τ_max。

d = 60 mmM = 300 N·mT = 2000 N·m

τ_max = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 15 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 135 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 135 kNn = 3L = 1 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: P = 64.02 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²

柔度

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314.2) = 4.775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·2827) = 1.474 × 10⁻⁶ mm/N

载荷

P = 0.4/6.248 × 10⁻⁶ = 64017 N = 64.02 kN

答案

P = 64.02 kN

2.轴向应力与应变

答案: P_max = 603.6 kN

面积

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·8482 = 8.451 × 10⁸ N

控制应变

ε = min(0.00075, 0.0007143) = 0.0007143 (铝)

最大载荷

P_max = 0.0007143·8.451 × 10⁸ = 603635 N = 603.6 kN

答案

P_max = 603.6 kN

3.轴的扭转

答案: τ_max = 188.6 MPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

各段的应力

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

τ_AB = 16·1 × 10⁶/(π·40³) = 79.58 MPa

τ_BC = 16·1 × 10⁶/(π·30³) = 188.6 MPa

答案

τ_max = 188.6 MPa

4.轴的扭转

答案: d_o = 28.79 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 50000/151.8 = 329.3 N·m

由容许应力求外径

T = 329.3 N·m = 329286 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·329286/(π·75·0.9375)) = 28.79 mm

d_i = 0.5·28.79 = 14.39 mm

答案

d_o = 28.79 mm

实心轴需要 d = 28.17 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 5.625 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 6·1.5 − 3·1.5·0.75 = 5.625 kN·m

答案

M_x = 5.625 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 40 kN, R₂ = 50 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −100, M_C = −120, M_D = −140, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −160 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 7.897 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

腹板: A_w = 12·140 = 1680 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·145 + 1680·70)/3680 = 110.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 200·10³/12 + 2000·(145 − 110.8)² = 2.361 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·140³/12 + 1680·(70 − 110.8)² = 5.535 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.361 × 10⁶ + 5.535 × 10⁶ = 7.897 × 10⁶ mm⁴ = 7.897 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 7.897 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_max = 157.5 MPa

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 240 − 2·22 = 196 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·240³ − 148·196³)/12

I_x = 9.146 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

y = 120 mm

σ = M·y/I = 1.2 × 10⁸·120/9.146 × 10⁷ = 157.5 MPa

答案

σ_max = 157.5 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: τ_max = 30 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

莫尔圆半径

τ_max = R = √(((−20 − −20)/2)² + 30²) = 30 MPa

答案

τ_max = 30 MPa

10.莫尔圆与应力变换

答案: τ_max = 47.68 MPa

表面处的应力

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·60³) = 14.15 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·60³) = 47.16 MPa

莫尔圆

C = σ/2 = 7.074 MPa

R = √(7.074² + 47.16²) = 47.68 MPa

答案

τ_max = 47.68 MPa

11.梁的挠度

答案: δ_max = 6.782 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 6.782 mm

答案

δ_max = 6.782 mm

12.梁的挠度

答案: δ_max = 4.058 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 15000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm, EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 15000·2000³/(48·9.24 × 10¹¹) = 2.706 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2000⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 1.353 mm

相加

δ_max = 2.706 + 1.353 = 4.058 mm

答案

δ_max = 4.058 mm

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 134.8 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

计算长度

KL = 1·2500 = 2500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/2500² = 134753 N = 134.8 kN

答案

P_cr = 134.8 kN

14.柱的屈曲

答案: d = 83.14 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 3·135000 = 405000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 83.14 mm

答案

d = 83.14 mm

校核：长细比 KL/r 为 96.23，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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