材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根青铜管（外径 120 mm，内径 70 mm，E = 110 GPa）内。二者长度均为 400 mm，在刚性板之间被 50 kN 的力一起压缩。求缩短量 δ。

P = 50 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa，许用应力 250 MPa）放在一根铝管（外径 80 mm，内径 60 mm，E = 70 GPa，许用应力 80 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 P_max。

杆: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.轴的扭转中等

在扭转试验中，一根直径 15 mm 的实心试件受 50 N·m 的扭矩作用。标距 400 mm 两端的相对转角为 2.88°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。

T = 50 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 2.88°

G = GPa

4.轴的扭转困难

一根空心轴须在 1800 rpm 下传递 50 kW。其内径为外径的 0.8 倍，切应力不得超过 50 MPa。求最小外径 d_o。

P = 50 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0.8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

35 kN @ 4 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 50 kN 位于 4 mw = 5 kN/m，从 0 到 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.形心和惯性矩中等

一块 100 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 80 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 200 mmd = 30 mm孔心: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 200 mm 的板有一个宽 60 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 140 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 200 mm切口: 60 × 20 mm孔心: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 110 MPa，σᵧ = −70 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。求面内最大切应力 τ_max。

σ_x = 110 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −70 MPa，σᵧ = −10 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（σ_z = 0）。求冯·米塞斯等效应力 σ_vM。

σ_x = −70 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 60 MPa

σ_vM = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 8 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 45 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 45 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 0.02079 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·7461 = 9.621 × 10⁸ N

缩短量

δ = 50000·400/9.621 × 10⁸ = 0.02079 mm

答案

δ = 0.02079 mm

2.轴向应力与应变

答案: P_max = 247.7 kN

面积

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·2199 = 2.168 × 10⁸ N

控制应变

ε = min(0.00125, 0.001143) = 0.001143 (铝)

最大载荷

P_max = 0.001143·2.168 × 10⁸ = 247737 N = 247.7 kN

答案

P_max = 247.7 kN

3.轴的扭转

答案: G = 80.06 GPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩和角度

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2.88·π/180 = 0.05027 rad

剪切模量

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·400/(4970·0.05027) = 80056 MPa

G = 80.06 GPa

答案

G = 80.06 GPa

作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。

4.轴的扭转

答案: d_o = 35.77 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 50000/188.5 = 265.3 N·m

由容许应力求外径

T = 265.3 N·m = 265258 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·265258/(π·50·0.5904)) = 35.77 mm

d_i = 0.8·35.77 = 28.62 mm

答案

d_o = 35.77 mm

实心轴需要 d = 30.01 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。

5.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 23.67 kN, R₂ = 35.33 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 21.67, M_C = 39.33, M_D = 53, M_E = 62.67 kN·m, M_F = 33.33, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 62.67 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 140 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·4 + 5·8·4

R_B = 360/8 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 45 = 45 kN

在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 45·4 − 5·4·2 = 140 kN·m

答案

M_x = 140 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 66.33 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (20000·100 − 706.9·80)/(20000 − 706.9) = 100.7 mm

完整的板关于 ȳ

100·200³/12 + 20000·−0.7328² = 66.68 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−20.73² = 0.3436 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 66.33 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 66.33 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: I_x = 97.96 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (30000·100 − 1200·140)/(30000 − 1200) = 98.33 mm

完整的板关于 ȳ

150·200³/12 + 30000·1.667² = 100.1 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

60·20³/12 + 1200·41.67² = 2.123 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 97.96 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 97.96 × 10⁶ mm⁴

9.莫尔圆与应力变换

答案: τ_max = 103 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

莫尔圆半径

τ_max = R = √(((110 − −70)/2)² + 50²) = 103 MPa

答案

τ_max = 103 MPa

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ_vM = 122.9 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σ_Y 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σ_Y/2 时屈服。

主应力

C = −40 MPa, R = 67.08 MPa

σ₁ = 27.08 MPa, σ₂ = −107.1 MPa, σ₃ = 0

冯·米塞斯

σ_vM = √(27.08² − 27.08·(−107.1) + (−107.1)²) = 122.9 MPa

答案

σ_vM = 122.9 MPa

11.梁的挠度

答案: θ_A = 0.005625 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 12·3000³/(24·2.4 × 10¹²) = 0.005625 rad

答案

θ_A = 0.005625 rad

即 0.3223°。

12.梁的挠度

答案: I_req = 426.1 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·5000⁴/(384·11000·13.89) = 4.261 × 10⁸ mm⁴

I_req = 426.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 426.1 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 78.48 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

计算长度

KL = 1·4000 = 4000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78.48 kN

答案

P_cr = 78.48 kN

14.柱的屈曲

答案: d = 70.63 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 3·45000 = 135000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 70.63 mm

答案

d = 70.63 mm

校核：长细比 KL/r 为 141.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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