材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根杆由一段钢（直径 20 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 60 mm，长 400 mm，E = 110 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.2 mm 的轴向载荷 P。

第 1 段: 钢, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σ_max。

P = 20 kN第 1 段：Ø35 mm，2 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1 m，铝（E = 70 GPa）

σ_max = MPa

3.轴的扭转中等

一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 250 N·md = 30 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根直径 40 mm 的实心铝轴在 A 端固定。距 A 1 m 的 B 处作用 500 N·m 的扭矩，再往前 3 m 的自由端 C 处作用一个反向的 100 N·m 扭矩。求端部 C 扭转角 φ_C 的大小，以度表示。

d = 40 mmT_B = 500 N·mT_C = 100 N·mAB = 1 mBC = 3 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 2 kN/m，从 0 到 4 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 10 mw = 12 kN/m，从 0 到 8 m

M_max = kN·m

7.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 35 MPa，容许压应力为 150 MPa。求梁能承受的最大负弯矩 M_allow（给出其大小）。

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 110 MPa，σᵧ = 70 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。求面内最大切应力 τ_max。

σ_x = 110 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

一根直径 60 mm 的实心轴承受1000 N·m 的弯矩，同时承受 2000 N·m 的扭矩。在弯曲应力为拉应力且最大的上表面处，求最大主应力 σ₁。

d = 60 mmM = 1000 N·mT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 11 kNa = 5 mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 19 kNw = 5 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 4 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: P = 33 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²

柔度

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314.2) = 4.775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·2827) = 1.286 × 10⁻⁶ mm/N

载荷

P = 0.2/6.061 × 10⁻⁶ = 32999 N = 33 kN

答案

P = 33 kN

2.轴向应力与应变

答案: σ_max = 176.8 MPa

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 20.79 MPa

σ₂ = 176.8 MPa

最大应力

较细的一段面积较小，因此应力较大。

σ_max = 176.8 MPa

答案

σ_max = 176.8 MPa

3.轴的扭转

答案: φ = 6.928 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(26000·79522) = 0.1209 rad

φ = 0.1209·180/π = 6.928°

答案

φ = 6.928°

4.轴的扭转

答案: φ_C = 0.8768 °

内扭矩

取 T_C 的转向为正。

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 500 = −400 N·m

各段的扭转角

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = −400000·1000/(26000·251327) = −0.06121 rad

φ_BC = 100000·3000/(26000·251327) = 0.04591 rad

端部 C 的扭转角

φ_C = −0.06121 + 0.04591 = −0.0153 rad → |φ_C| = 0.8768°

答案

φ_C = 0.8768°

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 3.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 4·2.5 − 2·2.5·1.25 = 3.75 kN·m

答案

M_x = 3.75 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 138.2 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·8·4

R_B = 384/10 = 38.4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 38.4 = 57.6 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 57.6/12 = 4.8 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 57.6·4.8 − 12·4.8²/2 = 138.2 kN·m

答案

M_max = 138.2 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 12.87 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187.5 mm

腹板: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·187.5 + 1440·90)/4140 = 153.6 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·15³/12 + 2700·(187.5 − 153.6)² = 3.156 × 10⁶ mm⁴

腹板: 8·180³/12 + 1440·(90 − 153.6)² = 9.71 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3.156 × 10⁶ + 9.71 × 10⁶ = 1.287 × 10⁷ mm⁴ = 12.87 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 12.87 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: M_allow = 21.38 kN·m

形心

ȳ = (7000·212.5 + 2000·100)/9000 = 187.5 mm

上边缘: c = 225 − 187.5 = 37.5 mm

惯性矩

I = 280·25³/12 + 7000·25² + 10·200³/12 + 2000·87.5² = 2.672 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

负弯矩：上侧受拉，下侧受压。

上边缘: M = 35·2.672 × 10⁷/37.5 = 24.94 kN·m

下边缘: M = 150·2.672 × 10⁷/187.5 = 21.38 kN·m

控制值

M_allow = min = 21.38 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 21.38 kN·m

9.莫尔圆与应力变换

答案: τ_max = 28.28 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

莫尔圆半径

τ_max = R = √(((110 − 70)/2)² + −20²) = 28.28 MPa

答案

τ_max = 28.28 MPa

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ₁ = 76.3 MPa

表面处的应力

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·60³) = 47.16 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·60³) = 47.16 MPa

莫尔圆

C = σ/2 = 23.58 MPa

R = √(23.58² + 47.16²) = 52.72 MPa

σ₁ = C + R = 76.3 MPa

σ₂ = C − R = −29.14 MPa

答案

σ₁ = 76.3 MPa

11.梁的挠度

答案: δ_P = 9.489 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 11000 N, a = 5000 mm, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 11000·5000²·1000²/(3·1.61 × 10¹²·6000) = 9.489 mm

答案

δ_P = 9.489 mm

12.梁的挠度

答案: δ_max = 2.656 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 19000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm, EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 19000·1500³/(48·6.27 × 10¹¹) = 2.131 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·1500⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 0.5257 mm

相加

δ_max = 2.131 + 0.5257 = 2.656 mm

答案

δ_max = 2.656 mm

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 2.879 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

计算长度

KL = 1·4000 = 4000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/4000² = 2879 N = 2.879 kN

答案

P_cr = 2.879 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 11.05 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

回转半径和长细比

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/20 = 250

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11.05 MPa

答案

σ_cr = 11.05 MPa

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