轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求钢杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 55 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa，许用应力 250 MPa）放在一根铜管（外径 80 mm，内径 60 mm，E = 120 GPa，许用应力 80 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.轴的扭转中等
一根空心黄铜轴（外径 75 mm，内径 45 mm，长 3 m）一端固定，另一端受 500 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 500 N·mdo = 75 mmdi = 45 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 25 mm 的实心黄铜轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 2 m、距 B 1.2 m 的 C 处施加 500 N·m 的扭矩。 求截面 C 的转角 φC，以度表示。
d = 25 mmT0 = 500 N·ma = 2 mb = 1.2 mG = 39 GPa
φC = °
5.剪力和弯矩中等
简支梁在距 A 为 x = 7 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 15 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mM0 = 15 kN·m 顺时针，作用于 7 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mP = 10 kN 位于 1 mw = 12 kN/m，从 0 到 6 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
槽形截面开口朝上：由宽 200 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 200 mm。底板和两肢厚度均为 8 mm。 求形心到底边的高度 ȳ。
b = 200 mmh = 200 mmt = 8 mm
ȳ = mm
8.形心和惯性矩困难
铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 30 MPa，容许压应力为 90 MPa。 求梁能承受的最大正弯矩 Mallow。
bf = 120 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 120 mmσt,allow = 30 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 160 MPa，σᵧ = 80 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 160 MPaσy = 80 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 30 MPa，σᵧ = 50 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（σz = 0）。 求冯·米塞斯等效应力 σvM。
σx = 30 MPaσy = 50 MPaτxy = −40 MPa
σvM = MPa
11.梁的挠度中等
长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 1 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。
P = 13 kNa = 1 mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 15 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 25 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 1368 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 55·1000/201.1 = 273.5 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 273.5/200000 = 0.001368 = 1368 µε
答案
ε = 1368 µε
2.轴向应力与应变
答案: Pmax = 217.8 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·2199 = 3.267 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.00125, 0.0006667) = 0.0006667 (铜)
最大载荷
Pmax = 0.0006667·3.267 × 10⁸ = 217817 N = 217.8 kN
答案
Pmax = 217.8 kN
3.轴的扭转
答案: φ = 0.8151 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2.704 × 10⁶ mm⁴
扭转角
T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 500000·3000/(39000·2.704 × 10⁶) = 0.01423 rad
φ = 0.01423·180/π = 0.8151°
答案
φ = 0.8151°
4.轴的扭转
答案: φC = 14.37 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·1.2/3.2 = 187.5 N·m
TB = 500·2/3.2 = 312.5 N·m
C 的转角
用 AC 段：它在 A 端固定，承受 TA。
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 187500·2000/(39000·38350) = 0.2507 rad = 14.37°
答案
φC = 14.37°
5.剪力和弯矩
答案: Mx = −10.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。
支座反力
对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 15/10 = 1.5 kN (向上)
RA = −RB = −1.5 kN (向下)
在力偶左侧紧邻处截开
左侧部分只包含 RA。
Mx = RA·a = −1.5·7 = −10.5 kN·m
答案
Mx = −10.5 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 59 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·1 + 12·6·3
RB = 226/6 = 37.67 kN
ΣFy = 0: RA = 82 − 37.67 = 44.33 kN
在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 44.33·3 − 10·(3 − 1) − 12·3·1.5 = 59 kN·m
答案
Mx = 59 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: ȳ = 69.75 mm
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成若干矩形
底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。
基质: A1 = 200·8 = 1600 mm², y1 = 4 mm
两肢: A2 = 2·8·192 = 3072 mm², y2 = 8 + 192/2 = 104 mm
形心
ȳ = (1600·4 + 3072·104)/4672 = 69.75 mm
答案
ȳ = 69.75 mm
8.形心和惯性矩
答案: Mallow = 2.309 kN·m
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
形心
ȳ = (2400·130 + 1920·60)/4320 = 98.89 mm
上边缘: c = 140 − 98.89 = 41.11 mm
惯性矩
I = 120·20³/12 + 2400·31.11² + 16·120³/12 + 1920·38.89² = 7.611 × 10⁶ mm⁴
每个边缘允许的弯矩
正弯矩：上侧受压，下侧受拉。
上边缘: M = 90·7.611 × 10⁶/41.11 = 16.66 kN·m
下边缘: M = 30·7.611 × 10⁶/98.89 = 2.309 kN·m
控制值
Mallow = min = 2.309 kN·m (下边缘)
答案
Mallow = 2.309 kN·m
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 41.23 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((160 − 80)/2)² + −10²) = 41.23 MPa
答案
τmax = 41.23 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σvM = 81.85 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 40 MPa, R = 41.23 MPa
σ1 = 81.23 MPa, σ2 = −1.231 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(81.23² − 81.23·(−1.231) + (−1.231)²) = 81.85 MPa
答案
σvM = 81.85 MPa
11.梁的挠度
答案: δB = 10.77 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 13000 N, a = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
自由端的挠度
荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。
δP = Pa³/(3EI) = 2.692 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.004037 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 10.77 mm
答案
δB = 10.77 mm
12.梁的挠度
答案: Ireq = 21.57 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·1500⁴/(384·11000·4.167) = 2.157 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 21.57 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 21.57 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 62.01 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·1000 = 500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/500² = 62013 N = 62.01 kN
答案
Pcr = 62.01 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 24.48 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
回转半径和长细比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/6.25 = 168
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/168² = 24.48 MPa
答案
σcr = 24.48 MPa
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