轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 30 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 60 mm，长 400 mm，E = 120 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.3 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 115 kN第 1 段：Ø40 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø20 mm，2 m，铜（E = 117 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 1000 N·md = 30 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心黄铜轴在 750 rpm 下传递 5 kW。切应力不得超过 50 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.25°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 5 kWN = 750 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0.25°/mG = 39 GPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 5 mP1 = 80 kN 位于 1 mP2 = 20 kN 位于 2 m
Mmax = kN·m
6.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求从 A 到两支座之间反弯点（弯矩变号处）的距离 xc。
L = 7 mw = 2 kN/m，从 0 到 7 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
xc = m
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 240 mmtf = 10 mmtw = 12 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 120 mm × 200 mm 的板有一个宽 80 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 140 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 200 mm切口: 80 × 20 mm孔心: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = −30 MPa、σᵧ = −40 MPa。在最大主应力达到 30 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = −30 MPaσy = −40 MPaσ1 = 30 MPa
τxy = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 0 MPa，σᵧ = 20 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 250 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 0 MPaσy = 20 MPaτxy = 30 MPaσY = 250 MPa
n =
11.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
简支梁在距支座 B 为 b = 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求跨中挠度 δmid。
P = 8 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 55.32 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 2827 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·2827) = 1.179 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.3/5.423 × 10⁻⁶ = 55319 N = 55.32 kN
答案
P = 55.32 kN
2.轴向应力与应变
答案: δ = 7.63 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 91.51 MPa
σ2 = 366.1 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 91.51·1500/100000 = 1.373 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 366.1·2000/117000 = 6.257 mm
δ = δ1 + δ2 = 7.63 mm
答案
δ = 7.63 mm
3.轴的扭转
答案: φ = 13.51 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1500/(80000·79522) = 0.2358 rad
φ = 0.2358·180/π = 13.51°
答案
φ = 13.51°
4.轴的扭转
答案: d = 44.18 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 5000/78.54 = 63.66 N·m
按强度求直径
T = 63.66 N·m = 63662 N·mm
dτ = ∛(16·63662/(π·50)) = 18.65 mm
按刚度求直径
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·63662/(π·39000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 44.18 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(18.65, 44.18) = 44.18 mm
答案
d = 44.18 mm
这里由刚度控制。
5.剪力和弯矩
答案: Mmax = 76 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
ΣMA = 0: RB·5 = 80·1 + 20·2
RB = 120/5 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 24 = 76 kN
各荷载处的弯矩
保留每个荷载左侧的部分。
荷载点 P1: M = RA·1 = 76·1 = 76 kN·m
荷载点 P2: M = RB·3 = 24·3 = 72 kN·m
最大值
Mmax = 76 kN·m (荷载点 P1)
答案
Mmax = 76 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: xc = 5.833 m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·7 = 14 kN，作用于 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 2·7·3.5
RB = 49/6 = 8.167 kN
ΣFy = 0: RA = 14 − 8.167 = 5.833 kN
弯矩为零
两支座之间 M(x) = RA·x − w·x²/2。除 x = 0 外，它在 x = 2RA/w 处为零。
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·5.833/2 = 5.833 m
答案
xc = 5.833 m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 51.41 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 240·10 = 2400 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
腹板: Aw = 12·280 = 3360 mm², yw = 280/2 = 140 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·285 + 3360·140)/5760 = 200.4 mm
平行移轴定理
翼缘: 240·10³/12 + 2400·(285 − 200.4)² = 1.719 × 10⁷ mm⁴
腹板: 12·280³/12 + 3360·(140 − 200.4)² = 3.422 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.719 × 10⁷ + 3.422 × 10⁷ = 5.141 × 10⁷ mm⁴ = 51.41 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 51.41 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 77.2 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (24000·100 − 1600·140)/(24000 − 1600) = 97.14 mm
完整的板关于 ȳ
120·200³/12 + 24000·2.857² = 80.2 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
80·20³/12 + 1600·42.86² = 2.992 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 77.2 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 77.2 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 64.81 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (−30 + (−40))/2 = −35 MPa
R = σ1 − C = 30 − (−35) = 65 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 5²) = 64.81 MPa
答案
τxy = 64.81 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: n = 3.953
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 10 MPa, R = 31.62 MPa
σ1 = 41.62 MPa, σ2 = −21.62 MPa, σ3 = 0
特雷斯卡
σmax − σmin = 63.25 MPa
n = 250/63.25 = 3.953
答案
n = 3.953
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
11.梁的挠度
答案: δ = 62 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 5000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 2·5000⁴/(8·2.52 × 10¹²) = 62 mm
答案
δ = 62 mm
12.梁的挠度
答案: δmid = 15.55 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 8000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²
跨中挠度
δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 8000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·6.27 × 10¹¹) = 15.55 mm
答案
δmid = 15.55 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 110.2 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1500² = 110245 N = 110.2 kN
答案
Pcr = 110.2 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 11.05 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/10 = 250
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11.05 MPa
答案
σcr = 11.05 MPa
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