轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求铝杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 110 kNd = 10 mmL = 3 mE = 70 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 40 kN第 1 段：Ø30 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø16 mm，2 m，黄铜（E = 100 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 100 N·md = 25 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 40 mm 的实心铝轴在 A 端固定。距 A 1.5 m 的 B 处作用 250 N·m 的扭矩，再往前 1.2 m 的自由端 C 处作用一个同向的 200 N·m 扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 40 mmTB = 250 N·mTC = 200 N·mAB = 1.5 mBC = 1.2 m
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mw = 8 kN/m，从 0 到 6 mx = 4 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mP = 15 kN 位于 1.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 5 mx = 1 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 100 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 140 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 100 mmh = 200 mmd = 50 mm孔心: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 150 mm × 300 mm 的板有一个宽 80 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 210 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 150 mmh = 300 mm切口: 80 × 20 mm孔心: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 60 MPa、σᵧ = 80 MPa、τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = 60 MPaσy = 80 MPaτxy = 40 MPa
θs = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 50 MPa，σᵧ = 70 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 50° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 50 MPaσy = 70 MPaτxy = −20 MPaθ = 50°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 20 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 50 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/300。求截面的最小高度 hreq。
w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)b = 50 mm
hreq = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 115 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 115 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 20008 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 110·1000/78.54 = 1401 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 1401/70000 = 0.02001 = 20008 µε
答案
ε = 20008 µε
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 198.9 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 56.59 MPa
σ2 = 198.9 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 198.9 MPa
答案
σmax = 198.9 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 11.49 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(26000·38350) = 0.2006 rad
φ = 0.2006·180/π = 11.49°
答案
φ = 11.49°
4.轴的扭转
答案: τmax = 35.81 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC + TB = 200 + 250 = 450 N·m
最大切应力
内扭矩最大的一段应力最大（直径相同）。
|T|max = 450 N·m
τmax = 16·450000/(π·40³) = 35.81 MPa
答案
τmax = 35.81 MPa
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 32 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·6·3
RB = 144/6 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 24·4 − 8·4·2 = 32 kN·m
答案
Mx = 32 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 18.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·1.5 + 4·5·2.5
RB = 72.5/5 = 14.5 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 14.5 = 20.5 kN
在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 20.5·1 − 4·1·0.5 = 18.5 kN·m
答案
Mx = 18.5 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 62.88 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (20000·100 − 1963·140)/(20000 − 1963) = 95.65 mm
完整的板关于 ȳ
100·200³/12 + 20000·4.354² = 67.05 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·50⁴/64 + 1963·44.35² = 4.17 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 62.88 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 62.88 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 331.5 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (45000·150 − 1600·210)/(45000 − 1600) = 147.8 mm
完整的板关于 ȳ
150·300³/12 + 45000·2.212² = 337.7 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
80·20³/12 + 1600·62.21² = 6.246 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 331.5 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 331.5 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: θs = 7.018 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = 40/41.23 = 0.9701, sin 2θs = −(−10)/41.23 = 0.2425
2θs = atan2(10, 40) = 14.04°
单元体上的角度
θs = 7.018°
校核: θs − θp = 7.018 − 52.02 = −45°
答案
θs = 7.018°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 42.04 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 60 + −10·−0.1736 + −20·0.9848 = 42.04 MPa
答案
σθ = 42.04 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 1.211 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 20 N/mm, L = 2500 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 1.211 mm
答案
δmax = 1.211 mm
12.梁的挠度
答案: hreq = 190.4 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/300 = 3000/300 = 10 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·10) = 2.876 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·2.876 × 10⁷/50)1/3 = 190.4 mm
答案
hreq = 190.4 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 2.18 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 2·3000 = 6000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/6000² = 2180 N = 2.18 kN
答案
Pcr = 2.18 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 96.15 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·115000 = 230000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 96.15 mm
答案
d = 96.15 mm
校核：长细比 KL/r 为 249.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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