轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 40 mm，长 500 mm，E = 70 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.2 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa，许用应力 200 MPa）放在一根铜管（外径 120 mm，内径 50 mm，E = 120 GPa，许用应力 60 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 750 N·md = 40 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 40 mm 的实心钢轴在 A 端固定。距 A 1.5 m 的 B 处作用 100 N·m 的扭矩，再往前 2 m 的自由端 C 处作用一个同向的 100 N·m 扭矩。 求端部 C 扭转角 φC 的大小，以度表示。
d = 40 mmTB = 100 N·mTC = 100 N·mAB = 1.5 mBC = 2 mG = 80 GPa
φC = °
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
50 kN @ 10 m30 kN @ 2 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
25 kN @ 0 m35 kN @ 12 m5 kN/m, 2–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.形心和惯性矩中等
圆管外径 D = 60 mm，内径 d = 44 mm。 求其对水平形心轴的回转半径 r。
D = 60 mmd = 44 mm
r = mm
8.形心和惯性矩困难
一块 120 mm × 240 mm 的板有一个宽 30 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 168 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 240 mm切口: 30 × 40 mm孔心: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 0 MPa，σᵧ = −30 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 0 MPaσy = −30 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −20 MPa，σᵧ = −60 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 25° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −20 MPaσy = −60 MPaτxy = −60 MPaθ = 25°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θA，以弧度表示。
w = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 100 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/360。求截面的最小高度 hreq。
w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 100 mm
hreq = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 130 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 130 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 22.88 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1257 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490.9) = 3.056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1257) = 5.684 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.2/8.74 × 10⁻⁶ = 22884 N = 22.88 kN
答案
P = 22.88 kN
2.轴向应力与应变
答案: Pmax = 609.9 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·9346 = 1.22 × 10⁹ N
控制应变
ε = min(0.001, 0.0005) = 0.0005 (铜)
最大载荷
Pmax = 0.0005·1.22 × 10⁹ = 609862 N = 609.9 kN
答案
Pmax = 609.9 kN
3.轴的扭转
答案: φ = 5.261 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(39000·251327) = 0.09182 rad
φ = 0.09182·180/π = 5.261°
答案
φ = 5.261°
4.轴的扭转
答案: φC = 1.425 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC + TB = 100 + 100 = 200 N·m
各段的扭转角
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 200000·1500/(80000·251327) = 0.01492 rad
φBC = 100000·2000/(80000·251327) = 0.009947 rad
端部 C 的扭转角
φC = 0.01492 + 0.009947 = 0.02487 rad → |φC| = 1.425°
答案
φC = 1.425°
5.剪力和弯矩
答案: F (x = 10 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 33.33 kN, R2 = 46.67 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 66.67, MC = 73.33, MD = 80, ME = 86.67, MF = 93.33 kN·m, MG = 0
答案
标记点 F: MF = 93.33 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: E (x = 8 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 25 kN, R2 = 65 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −50, MC = −60, MD = −90, ME = −140 kN·m, MF = −70, MG = 0
答案
标记点 E: ME = −140 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: r = 18.6 mm
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。 回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。
净面积和惯性矩
A = π(D² − d²)/4 = 1307 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 452188 mm⁴
回转半径
r = √(I/A) = √(452188/1307) = 18.6 mm
答案
r = 18.6 mm
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 135.2 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (28800·120 − 1200·168)/(28800 − 1200) = 117.9 mm
完整的板关于 ȳ
120·240³/12 + 28800·2.087² = 138.4 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
30·40³/12 + 1200·50.09² = 3.17 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 135.2 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 135.2 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 52.2 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((0 − −30)/2)² + −50²) = 52.2 MPa
答案
τmax = 52.2 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −73.11 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −40 + 20·0.6428 + −60·0.766 = −73.11 MPa
答案
σθ = −73.11 MPa
11.梁的挠度
答案: θA = 0.002339 rad
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
端部转角
θA = wL³/(24EI) = 10·4000³/(24·1.14 × 10¹³) = 0.002339 rad
答案
θA = 0.002339 rad
即 0.134°。
12.梁的挠度
答案: hreq = 233.8 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·13.89) = 1.065 × 10⁸ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·1.065 × 10⁸/100)1/3 = 233.8 mm
答案
hreq = 233.8 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 78.48 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1000² = 78485 N = 78.48 kN
答案
Pcr = 78.48 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 99.14 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·130000 = 260000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 99.14 mm
答案
d = 99.14 mm
校核：长细比 KL/r 为 242.1，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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