轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa）放在一根青铜管（外径 100 mm，内径 60 mm，E = 110 GPa）内。二者长度均为 400 mm，在刚性板之间被 250 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 250 kN杆: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa，许用应力 120 MPa）放在一根黄铜管（外径 120 mm，内径 50 mm，E = 100 GPa，许用应力 50 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 12 mm 的实心试件受 20 N·m 的扭矩作用。标距 200 mm 两端的相对转角为 1.41°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 20 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 1.41°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根直径 40 mm 的实心钢轴在 A 端固定。距 A 0.5 m 的 B 处作用 2000 N·m 的扭矩，再往前 3 m 的自由端 C 处作用一个同向的 1500 N·m 扭矩。 求端部 C 扭转角 φC 的大小，以度表示。
d = 40 mmTB = 2000 N·mTC = 1500 N·mAB = 0.5 mBC = 3 mG = 80 GPa
φC = °
5.剪力和弯矩中等
简支梁在距 A 为 x = 2 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 25 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mM0 = 25 kN·m 顺时针，作用于 2 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。
L = 6 mw = 8 kN/m，从 0 到 6 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
槽形截面开口朝上：由宽 200 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 170 mm。底板和两肢厚度均为 18 mm。 求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
b = 200 mmh = 170 mmt = 18 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 40 MPa，容许压应力为 90 MPa。 求梁能承受的最大正弯矩 Mallow。
bf = 300 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 140 mmσt,allow = 40 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 80 MPa，σᵧ = 80 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 80 MPaσy = 80 MPaτxy = −50 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −20 MPa，σᵧ = −70 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 25° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −20 MPaσy = −70 MPaτxy = 30 MPaθ = 25°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
简支梁在距支座 B 为 b = 1 m 处承受集中荷载 P。 求梁的最大挠度 δmax。
P = 27 kNb = 1 mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 55 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 55 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.1536 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·5027 = 6.511 × 10⁸ N
缩短量
δ = 250000·400/6.511 × 10⁸ = 0.1536 mm
答案
δ = 0.1536 mm
2.轴向应力与应变
答案: Pmax = 593 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·9346 = 1.186 × 10⁹ N
控制应变
ε = min(0.0006, 0.0005) = 0.0005 (黄铜)
最大载荷
Pmax = 0.0005·1.186 × 10⁹ = 592976 N = 593 kN
答案
Pmax = 593 kN
3.轴的扭转
答案: G = 79.84 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 1.41·π/180 = 0.02461 rad
剪切模量
T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·200/(2036·0.02461) = 79843 MPa
G = 79.84 GPa
答案
G = 79.84 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: φC = 17.81 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 1500 N·m
TAB = TC + TB = 1500 + 2000 = 3500 N·m
各段的扭转角
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 3.5 × 10⁶·500/(80000·251327) = 0.08704 rad
φBC = 1.5 × 10⁶·3000/(80000·251327) = 0.2238 rad
端部 C 的扭转角
φC = 0.08704 + 0.2238 = 0.3108 rad → |φC| = 17.81°
答案
φC = 17.81°
5.剪力和弯矩
答案: Mx = −10 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。
支座反力
对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 25/5 = 5 kN (向上)
RA = −RB = −5 kN (向下)
在力偶左侧紧邻处截开
左侧部分只包含 RA。
Mx = RA·a = −5·2 = −10 kN·m
答案
Mx = −10 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 9 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 8·6·3
RB = 144/4 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 36 = 12 kN
剪力为零
RA − w·x0 = 0 → x0 = 12/8 = 1.5 m
最大正弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 12²/(2·8) = 9 kN·m
答案
Mmax = 9 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 26.32 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成若干矩形
底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。
基质: A1 = 200·18 = 3600 mm², y1 = 9 mm
两肢: A2 = 2·18·152 = 5472 mm², y2 = 18 + 152/2 = 94 mm
形心
ȳ = (3600·9 + 5472·94)/9072 = 60.27 mm
平行移轴定理
基质: 200·18³/12 + 3600·(9 − 60.27)² = 9.56 × 10⁶ mm⁴
两肢: 2·18·152³/12 + 5472·(94 − 60.27)² = 1.676 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9.56 × 10⁶ + 1.676 × 10⁷
Ix = 2.632 × 10⁷ mm⁴ = 26.32 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 26.32 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Mallow = 5.01 kN·m
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
形心
ȳ = (9000·155 + 2240·70)/11240 = 138.1 mm
上边缘: c = 170 − 138.1 = 31.94 mm
惯性矩
I = 300·30³/12 + 9000·16.94² + 16·140³/12 + 2240·68.06² = 1.729 × 10⁷ mm⁴
每个边缘允许的弯矩
正弯矩：上侧受压，下侧受拉。
上边缘: M = 90·1.729 × 10⁷/31.94 = 48.73 kN·m
下边缘: M = 40·1.729 × 10⁷/138.1 = 5.01 kN·m
控制值
Mallow = min = 5.01 kN·m (下边缘)
答案
Mallow = 5.01 kN·m
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −45 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−50, 80 − 80) = −90°
单元体上的角度
θp = −45°
答案
θp = −45°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −5.949 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −45 + 25·0.6428 + 30·0.766 = −5.949 MPa
答案
σθ = −5.949 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 4.185 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 4.185 mm
答案
δmax = 4.185 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 64.96 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 27000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²
最大值的位置
令较长段内的转角为零，即可得到该位置。
x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm
最大挠度
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 64.96 mm
答案
δmax = 64.96 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 2.811 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
计算长度
KL = 1·4000 = 4000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/4000² = 2811 N = 2.811 kN
答案
Pcr = 2.811 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 51.09 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·55000 = 165000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 51.09 mm
答案
d = 51.09 mm
校核：长细比 KL/r 为 156.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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