材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

求铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。

P = 20 kNd = 10 mmL = 2.5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σ_max。

P = 50 kN第 1 段：Ø25 mm，1 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø20 mm，2 m，铜（E = 117 GPa）

σ_max = MPa

3.轴的扭转中等

一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 400 N·md = 40 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根空心轴须在 1800 rpm 下传递 10 kW。其内径为外径的 0.5 倍，切应力不得超过 60 MPa。求最小外径 d_o。

P = 10 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0.5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 8 mP₁ = 65 kN 位于 4 mP₂ = 50 kN 位于 7 m

M_max = kN·m

6.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 10 mw = 10 kN/m，从 0 到 8 m

M_max = kN·m

7.形心和惯性矩中等

一块 100 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 96 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 240 mmd = 60 mm孔心: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 30 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mmM = 30 kN·m

σ_顶部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 30 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θ_p，取值在 −90° 到 90° 之间。

σ_x = 30 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.莫尔圆与应力变换困难

一个薄壁圆柱形储罐，内径 600 mm，壁厚 12 mm，所盛气体的表压为 2.5 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 25° 的螺旋焊缝焊接而成。求沿焊缝作用的切应力 |τ_n| 的大小。

D = 600 mmt = 12 mmp = 2.5 MPaα = 25°

|τ_n| = MPa

11.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。

P = 6 kNw = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (铝)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 5.441 mm

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 20·1000/78.54 = 254.6 MPa

应变（胡克定律）

E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 254.6/117000 = 0.002176 = 2176 µε

伸长量

δ = ε·L = 0.002176·2500 mm = 5.441 mm

答案

δ = 5.441 mm

2.轴向应力与应变

答案: σ_max = 159.2 MPa

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 101.9 MPa

σ₂ = 159.2 MPa

最大应力

较细的一段面积较小，因此应力较大。

σ_max = 159.2 MPa

答案

σ_max = 159.2 MPa

3.轴的扭转

答案: φ = 3.42 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(80000·251327) = 0.05968 rad

φ = 0.05968·180/π = 3.42°

答案

φ = 3.42°

4.轴的扭转

答案: d_o = 16.87 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 10000/188.5 = 53.05 N·m

由容许应力求外径

T = 53.05 N·m = 53052 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·53052/(π·60·0.9375)) = 16.87 mm

d_i = 0.5·16.87 = 8.436 mm

答案

d_o = 16.87 mm

实心轴需要 d = 16.51 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。

5.剪力和弯矩

答案: M_max = 155 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 65·4 + 50·7

R_B = 610/8 = 76.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 76.25 = 38.75 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·4 = 38.75·4 = 155 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·1 = 76.25·1 = 76.25 kN·m

最大值

M_max = 155 kN·m (荷载点 P₁)

答案

M_max = 155 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 115.2 kN·m

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·8·4

R_B = 320/10 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 32 = 48 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 48/10 = 4.8 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 48·4.8 − 10·4.8²/2 = 115.2 kN·m

答案

M_max = 115.2 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 112.7 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (24000·120 − 2827·96)/(24000 − 2827) = 123.2 mm

完整的板关于 ȳ

100·240³/12 + 24000·−3.205² = 115.4 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−27.21² = 2.729 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 112.7 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 112.7 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 176.9 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

腹板: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·125 + 1200·60)/3400 = 102.1 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·10³/12 + 2200·(125 − 102.1)² = 1.176 × 10⁶ mm⁴

腹板: 10·120³/12 + 1200·(60 − 102.1)² = 3.563 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.176 × 10⁶ + 3.563 × 10⁶ = 4.739 × 10⁶ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 130 − 102.1 = 27.94 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·27.94/4.739 × 10⁶ = 176.9 MPa

答案

σ_顶部 = 176.9 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: θ_p = 67.5 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。

2θ_p = atan2(2·40, 30 − 110) = 135°

单元体上的角度

θ_p = 67.5°

答案

θ_p = 67.5°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: |τ_n| = 11.97 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σ_h = pr/t，轴向应力 σ_a = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。

筒壁应力

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 2.5·300/12 = 62.5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 31.25 MPa

变换到焊缝

取 x 沿轴线 (σ_a)，y 沿环向 (σ_h)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。

|τ_n| = (62.5 − 31.25)·sin 25°·cos 25° = 11.97 MPa

答案

|τ_n| = 11.97 MPa

11.梁的挠度

答案: δ = 24.84 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 6000 N, w = 12 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(3EI) = 6000·2000³/(3·1.61 × 10¹²) = 9.938 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·1.61 × 10¹²) = 14.91 mm

相加

δ = 9.938 + 14.91 = 24.84 mm

答案

δ = 24.84 mm

12.梁的挠度

答案: I_req = 16.74 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·70000·13.89) = 1.674 × 10⁷ mm⁴

I_req = 16.74 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 16.74 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 15.5 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

计算长度

KL = 1·1000 = 1000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1000² = 15503 N = 15.5 kN

答案

P_cr = 15.5 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 126.3 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

回转半径和长细比

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126.3 MPa

答案

σ_cr = 126.3 MPa

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