轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根铜管（外径 100 mm，内径 70 mm，E = 120 GPa）内。二者长度均为 800 mm，在刚性板之间被 100 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 100 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa，许用应力 200 MPa）放在一根青铜管（外径 100 mm，内径 60 mm，E = 110 GPa，许用应力 50 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 10 mm 的实心试件受 20 N·m 的扭矩作用。标距 200 mm 两端的相对转角为 2.92°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 20 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 2.92°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根直径 20 mm 的实心黄铜轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 3 m、距 B 1.2 m 的 C 处施加 500 N·m 的扭矩。 求墙 A 处的反扭矩 TA。
d = 20 mmT0 = 500 N·ma = 3 mb = 1.2 m
TA = N·m
5.剪力和弯矩中等
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6.5 mP1 = 65 kN 位于 2 mP2 = 50 kN 位于 6.5 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 10 mw = 4 kN/m，从 7 到 9 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 200 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 200 mmh = 300 mmd = 50 mm孔心: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 200 mm × 300 mm 的板有一个宽 50 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 210 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 200 mmh = 300 mm切口: 50 × 50 mm孔心: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 110 MPa，σᵧ = −50 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 110 MPaσy = −50 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −60 MPa，σᵧ = 100 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 15° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −60 MPaσy = 100 MPaτxy = 60 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 5 mw = 5 kN/m
RB = kN
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端固定。它需承受 55 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 55 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.1286 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·4006 = 6.22 × 10⁸ N
缩短量
δ = 100000·800/6.22 × 10⁸ = 0.1286 mm
答案
δ = 0.1286 mm
2.轴向应力与应变
答案: Pmax = 296 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·5027 = 6.511 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.001, 0.0004545) = 0.0004545 (青铜)
最大载荷
Pmax = 0.0004545·6.511 × 10⁸ = 295952 N = 296 kN
答案
Pmax = 296 kN
3.轴的扭转
答案: G = 79.95 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 2.92·π/180 = 0.05096 rad
剪切模量
T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·200/(981.7·0.05096) = 79947 MPa
G = 79.95 GPa
答案
G = 79.95 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: TA = 142.9 N·m
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·1.2/4.2 = 142.9 N·m
TB = 500·3/4.2 = 357.1 N·m
答案
TA = 142.9 N·m
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 48 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。
ΣMA = 0: RB·5 = 65·2 + 50·6.5
RB = 455/5 = 91 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 91 = 24 kN
在 P1 处截开，保留左侧部分
Mx = RA·2 = 24·2 = 48 kN·m
答案
Mx = 48 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 11.52 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN，作用于 x̄ = 8 m
ΣMA = 0: RB·10 = 4·2·8
RB = 64/10 = 6.4 kN
ΣFy = 0: RA = 8 − 6.4 = 1.6 kN
剪力为零
剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。
RA − w·(x0 − 7) = 0
x0 = 7 + 1.6/4 = 7.4 m
最大弯矩
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 7)²/2 = 1.6·7.4 − 4·0.4²/2 = 11.52 kN·m
答案
Mmax = 11.52 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 447.9 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (60000·150 − 1963·120)/(60000 − 1963) = 151 mm
完整的板关于 ȳ
200·300³/12 + 60000·−1.015² = 450.1 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·50⁴/64 + 1963·−31.01² = 2.196 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 447.9 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 447.9 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 440.1 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (60000·150 − 2500·210)/(60000 − 2500) = 147.4 mm
完整的板关于 ȳ
200·300³/12 + 60000·2.609² = 450.4 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
50·50³/12 + 2500·62.61² = 10.32 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 440.1 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 440.1 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 18.43 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·60, 110 − −50) = 36.87°
单元体上的角度
θp = 18.43°
答案
θp = 18.43°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −19.28 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 20 + −80·0.866 + 60·0.5 = −19.28 MPa
答案
σθ = −19.28 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 1.057 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 1.057 mm
答案
δmax = 1.057 mm
12.梁的挠度
答案: RB = 9.375 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = wL⁴/(8EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·5/8 = 9.375 kN
答案
RB = 9.375 kN
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 177.2 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/2800² = 177179 N = 177.2 kN
答案
Pcr = 177.2 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 66.42 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·55000 = 165000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 66.42 mm
答案
d = 66.42 mm
校核：长细比 KL/r 为 120.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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