材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

求黄铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。

P = 15 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。

P = 80 kN第 1 段：Ø40 mm，0.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø16 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）

δ = mm

3.轴的扭转中等

在扭转试验中，一根直径 12 mm 的实心试件受 50 N·m 的扭矩作用。标距 200 mm 两端的相对转角为 7.22°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。

T = 50 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 7.22°

G = GPa

4.轴的扭转困难

一根空心轴须在 3000 rpm 下传递 20 kW。其内径为外径的 0.6 倍，切应力不得超过 80 MPa。求最小外径 d_o。

P = 20 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0.6τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 4 m35 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 10 mw = 20 kN/m，从 2 到 10 m

M_max = kN·m

7.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 10 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mmM = 10 kN·m

σ_顶部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 60 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。求面内最大切应力 τ_max。

σ_x = 60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 70 MPa，σᵧ = 50 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 50° 的截面上的正应力 σ_θ。

σ_x = 70 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (钢)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 1.119 mm

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 15·1000/201.1 = 74.6 MPa

应变（胡克定律）

E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 74.6/100000 = 0.000746 = 746 µε

伸长量

δ = ε·L = 0.000746·1500 mm = 1.119 mm

答案

δ = 1.119 mm

2.轴向应力与应变

答案: δ = 3.719 mm

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 63.66 MPa

σ₂ = 397.9 MPa

叠加各段伸长量

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63.66·500/100000 = 0.3183 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 397.9·1000/117000 = 3.401 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3.719 mm

答案

δ = 3.719 mm

3.轴的扭转

答案: G = 38.98 GPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩和角度

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 7.22·π/180 = 0.126 rad

剪切模量

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·200/(2036·0.126) = 38982 MPa

G = 38.98 GPa

答案

G = 38.98 GPa

作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。

4.轴的扭转

答案: d_o = 16.7 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 20000/314.2 = 63.66 N·m

由容许应力求外径

T = 63.66 N·m = 63662 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·63662/(π·80·0.8704)) = 16.7 mm

d_i = 0.6·16.7 = 10.02 mm

答案

d_o = 16.7 mm

实心轴需要 d = 15.94 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。

5.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 45.83 kN, R₂ = 39.17 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 45.83, M_C = 56.67, M_D = 67.5, M_E = 78.33 kN·m, M_F = 39.17, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 78.33 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 230.4 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 20·8 = 160 kN，作用于 x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·8·6

R_B = 960/10 = 96 kN

ΣF_y = 0: R_A = 160 − 96 = 64 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 64/20 = 5.2 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 64·5.2 − 20·3.2²/2 = 230.4 kN·m

答案

M_max = 230.4 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 4.739 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

腹板: A_w = 12·120 = 1440 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·125 + 1440·60)/2840 = 92.04 mm

平行移轴定理

翼缘: 140·10³/12 + 1400·(125 − 92.04)² = 1.532 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·120³/12 + 1440·(60 − 92.04)² = 3.206 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.532 × 10⁶ + 3.206 × 10⁶ = 4.739 × 10⁶ mm⁴ = 4.739 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 4.739 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 10.32 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

腹板: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·295 + 3360·140)/8760 = 235.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·30³/12 + 5400·(295 − 235.5)² = 1.949 × 10⁷ mm⁴

腹板: 12·280³/12 + 3360·(140 − 235.5)² = 5.263 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.949 × 10⁷ + 5.263 × 10⁷ = 7.212 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 310 − 235.5 = 74.45 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·74.45/7.212 × 10⁷ = 10.32 MPa

答案

σ_顶部 = 10.32 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: τ_max = 50.99 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

莫尔圆半径

τ_max = R = √(((60 − −40)/2)² + −10²) = 50.99 MPa

答案

τ_max = 50.99 MPa

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ_θ = 87.81 MPa

变换公式

σ_θ = 60 + 10·−0.1736 + 30·0.9848 = 87.81 MPa

答案

σ_θ = 87.81 MPa

11.梁的挠度

答案: δ_max = 2.511 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 20 N/mm, L = 3000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 2.511 mm

答案

δ_max = 2.511 mm

12.梁的挠度

答案: I_req = 2.813 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·2000⁴/(384·200000·5.556) = 2.813 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2.813 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 2.813 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 19.62 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

计算长度

KL = 1·2000 = 2000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19.62 kN

答案

P_cr = 19.62 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 6.218 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/15 = 333.3

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333.3² = 6.218 MPa

答案

σ_cr = 6.218 MPa

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