材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。

P = 95 kNd = 12 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.轴向应力与应变困难

一段钢（直径 40 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 60 mm，长 500 mm，E = 110 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 80 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ₂。

第 1 段: 钢, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.轴的扭转中等

一根阶梯形实心黄铜轴在 A 端固定。AB 段直径 50 mm，长 0.8 m；BC 段直径 25 mm，长 3 m。自由端 C 作用 500 N·m 的扭矩。求轴中的最大切应力 τ_max。

T = 500 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 0.8 md₂ = 25 mm, L₂ = 3 m

τ_max = MPa

4.轴的扭转困难

一根空心轴在 500 rpm 下传递 50 kW。求轴中的最大切应力 τ_max。

P = 50 kWN = 500 rpmd_o = 75 mmd_i = 53 mm

τ_max = MPa

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 5.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 2 kN/m，从 0 到 10 mx = 5.5 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求从 A 到两支座之间反弯点（弯矩变号处）的距离 x_c。

L = 6 mw = 6 kN/m，从 0 到 6 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m

x_c = m

7.形心和惯性矩中等

一块 120 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 96 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 240 mmd = 30 mm孔心: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 10 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mmM = 10 kN·m

σ_顶部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 120 MPa，σᵧ = −50 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θ_p，取值在 −90° 到 90° 之间。

σ_x = 120 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.莫尔圆与应力变换困难

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 40 MPa，σᵧ = 90 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（σ_z = 0）。材料的屈服强度为 420 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。

σ_x = 40 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 8 mP = 65 kN 位于 4 m

R_B = kN

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: ε = 8400 µε

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 95·1000/113.1 = 840 MPa

应变（胡克定律）

E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 840/100000 = 0.0084 = 8400 µε

答案

ε = 8400 µε

2.轴向应力与应变

答案: σ₂ = 12.06 MPa

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

刚度

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 110000·2827/500 = 622035 N/mm

第 2 段的份额

F₂ = 80000·622035/1.46 × 10⁶ = 34089 N

应力

σ₂ = 34089/2827 = 12.06 MPa （压缩）

答案

σ₂ = 12.06 MPa

3.轴的扭转

答案: τ_max = 163 MPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

各段的应力

T = 500 N·m = 500000 N·mm

τ_AB = 16·500000/(π·50³) = 20.37 MPa

τ_BC = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

答案

τ_max = 163 MPa

4.轴的扭转

答案: τ_max = 15.36 MPa

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 50000/52.36 = 954.9 N·m

极惯性矩

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴

最大切应力

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·37.5/2.332 × 10⁶ = 15.36 MPa

答案

τ_max = 15.36 MPa

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 24.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

在 x = 5.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 10·5.5 − 2·5.5·2.75 = 24.75 kN·m

答案

M_x = 24.75 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: x_c = 3 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·6·3

R_B = 108/4 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 27 = 9 kN

弯矩为零

两支座之间 M(x) = R_A·x − w·x²/2。除 x = 0 外，它在 x = 2R_A/w 处为零。

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·9/6 = 3 m

答案

x_c = 3 m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 137.8 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (28800·120 − 706.9·96)/(28800 − 706.9) = 120.6 mm

完整的板关于 ȳ

120·240³/12 + 28800·−0.6039² = 138.3 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−24.6² = 0.4677 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 137.8 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 137.8 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 7.966 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292.5 mm

腹板: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·292.5 + 3920·140)/10920 = 237.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 280·25³/12 + 7000·(292.5 − 237.8)² = 2.134 × 10⁷ mm⁴

腹板: 14·280³/12 + 3920·(140 − 237.8)² = 6.307 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.134 × 10⁷ + 6.307 × 10⁷ = 8.441 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 305 − 237.8 = 67.24 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·67.24/8.441 × 10⁷ = 7.966 MPa

答案

σ_顶部 = 7.966 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: θ_p = 12.6 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。

2θ_p = atan2(2·40, 120 − −50) = 25.2°

单元体上的角度

θ_p = 12.6°

答案

θ_p = 12.6°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: n = 3.474

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σ_Y 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σ_Y/2 时屈服。

主应力

C = 65 MPa, R = 55.9 MPa

σ₁ = 120.9 MPa, σ₂ = 9.098 MPa, σ₃ = 0

特雷斯卡

σ_max − σ_min = 120.9 MPa

n = 420/120.9 = 3.474

答案

n = 3.474

n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。

11.梁的挠度

答案: δ_max = 24.48 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 5000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 24.48 mm

答案

δ_max = 24.48 mm

12.梁的挠度

答案: R_B = 20.31 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·65/16 = 20.31 kN

答案

R_B = 20.31 kN

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 14.74 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1250² = 14739 N = 14.74 kN

答案

P_cr = 14.74 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 6.218 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/7.5 = 333.3

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333.3² = 6.218 MPa

答案

σ_cr = 6.218 MPa

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