轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根铜管（外径 100 mm，内径 70 mm，E = 120 GPa）内。二者长度均为 500 mm，在刚性板之间被 300 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 300 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 70 kN第 1 段：Ø30 mm，1.5 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø20 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根空心轴须承受 200 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.75 倍，切应力不得超过 40 MPa。求最小外径 do。
T = 200 N·mdi/do = 0.75τallow = 40 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
一根直径 40 mm 的实心铝轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 0.8 m、距 B 3 m 的 C 处施加 750 N·m 的扭矩。 求截面 C 的转角 φC，以度表示。
d = 40 mmT0 = 750 N·ma = 0.8 mb = 3 mG = 26 GPa
φC = °
5.剪力和弯矩中等
简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 4 mP1 = 50 kN 位于 1.5 mP2 = 25 kN 位于 2.5 m
Mmax = kN·m
6.剪力和弯矩困难
简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 5 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 12 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
对称工字形截面的翼缘宽 150 mm、厚 20 mm，总高度 420 mm，腹板厚 10 mm。 截面承受绕 x 轴的弯矩 80 kN·m。 求截面中最大弯曲应力 σmax 的大小。
B = 150 mmH = 420 mmtf = 20 mmtw = 10 mmM = 80 kN·m
σmax = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −70 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = −70 MPaσy = 30 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −60 MPa，σᵧ = 70 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 45° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = −60 MPaσy = 70 MPaτxy = 60 MPaθ = -45°
τθ = MPa
11.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。
P = 29 kNw = 8 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 75 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 hreq。
w = 4 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 75 mm
hreq = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.2411 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·4006 = 6.22 × 10⁸ N
缩短量
δ = 300000·500/6.22 × 10⁸ = 0.2411 mm
答案
δ = 0.2411 mm
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 222.8 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 99.03 MPa
σ2 = 222.8 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 222.8 MPa
答案
σmax = 222.8 MPa
3.轴的扭转
答案: do = 33.4 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
由容许应力求外径
T = 200 N·m = 200000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·40·0.6836)) = 33.4 mm
di = 0.75·33.4 = 25.05 mm
答案
do = 33.4 mm
实心轴需要 d = 29.42 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
4.轴的扭转
答案: φC = 4.153 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·3/3.8 = 592.1 N·m
TB = 750·0.8/3.8 = 157.9 N·m
C 的转角
用 AC 段：它在 A 端固定，承受 TA。
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 592105·800/(26000·251327) = 0.07249 rad = 4.153°
答案
φC = 4.153°
5.剪力和弯矩
答案: Mmax = 60.94 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
ΣMA = 0: RB·4 = 50·1.5 + 25·2.5
RB = 137.5/4 = 34.38 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 34.38 = 40.63 kN
各荷载处的弯矩
保留每个荷载左侧的部分。
荷载点 P1: M = RA·1.5 = 40.63·1.5 = 60.94 kN·m
荷载点 P2: M = RB·1.5 = 34.38·1.5 = 51.56 kN·m
最大值
Mmax = 60.94 kN·m (荷载点 P1)
答案
Mmax = 60.94 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 17.28 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·5 = 6·4·2
RB = 48/5 = 9.6 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 9.6 = 14.4 kN
剪力为零
剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。
RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 14.4/6 = 2.4 m
最大弯矩
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 14.4·2.4 − 6·2.4²/2 = 17.28 kN·m
答案
Mmax = 17.28 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 50.23 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 280 + 20/2 = 290 mm
腹板: Aw = 12·280 = 3360 mm², yw = 280/2 = 140 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·290 + 3360·140)/5360 = 196 mm
平行移轴定理
翼缘: 100·20³/12 + 2000·(290 − 196)² = 1.775 × 10⁷ mm⁴
腹板: 12·280³/12 + 3360·(140 − 196)² = 3.248 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.775 × 10⁷ + 3.248 × 10⁷ = 5.023 × 10⁷ mm⁴ = 50.23 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 50.23 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σmax = 58.76 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 420 − 2·20 = 380 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (150·420³ − 140·380³)/12
Ix = 2.859 × 10⁸ mm⁴
弯曲应力
y = 210 mm
σ = M·y/I = 8 × 10⁷·210/2.859 × 10⁸ = 58.76 MPa
答案
σmax = 58.76 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 64.9 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·60, −70 − 30) = 129.8°
单元体上的角度
θp = 64.9°
答案
θp = 64.9°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = −65 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −−65·−1 + 60·0 = −65 MPa
答案
τθ = −65 MPa
11.梁的挠度
答案: δ = 54.9 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 29000 N, w = 8 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(3EI) = 29000·2000³/(3·1.7 × 10¹²) = 45.49 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·1.7 × 10¹²) = 9.412 mm
相加
δ = 45.49 + 9.412 = 54.9 mm
答案
δ = 54.9 mm
12.梁的挠度
答案: hreq = 201 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/250 = 3500/250 = 14 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3500⁴/(384·11000·14) = 5.075 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·5.075 × 10⁷/75)1/3 = 201 mm
答案
hreq = 201 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 48.96 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1050² = 48956 N = 48.96 kN
答案
Pcr = 48.96 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 49.35 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
回转半径和长细比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/7.5 = 200
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa
答案
σcr = 49.35 MPa
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