材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

求黄铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。

P = 30 kNd = 10 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

一段钢（直径 40 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 50 mm，长 300 mm，E = 120 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 40 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ₂。

第 1 段: 钢, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.轴的扭转中等

一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 500 N·md = 25 mmL = 0.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根实心轴需在 1450 rpm 下传递 20 kW，且切应力不超过 80 MPa。求满足要求的最小直径 d。

P = 20 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 6 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 6 kN/m，从 0 到 10 mx = 6 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 15 kN 位于 2.5 mw = 3 kN/m，从 0 到 4 mx = 3.5 m

M_x = kN·m

7.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

焊接工字形截面的上翼缘为 160 × 12 mm，腹板高 350 mm、厚 8 mm，下翼缘为 280 × 18 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

上翼缘: 160 × 12 mm腹板: 8 × 350 mm下翼缘: 280 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.莫尔圆与应力变换中等

某点 σₓ = 50 MPa、σᵧ = −60 MPa。在最大主应力达到 80 MPa 之前，切应力 τ_xy（大小）最大可以是多少？

σ_x = 50 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = 80 MPa

τ_xy = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 160 MPa，σᵧ = −10 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（σ_z = 0）。求冯·米塞斯等效应力 σ_vM。

σ_x = 160 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 2 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.梁的挠度困难

简支梁在距支座 B 为 b = 1 m 处承受集中荷载 P。求梁的最大挠度 δ_max。

P = 30 kNb = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 65 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 65 kNn = 2.5L = 4 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 3.82 mm

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 30·1000/78.54 = 382 MPa

应变（胡克定律）

E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 382/100000 = 0.00382 = 3820 µε

伸长量

δ = ε·L = 0.00382·1000 mm = 3.82 mm

答案

δ = 3.82 mm

2.轴向应力与应变

答案: σ₂ = 9.857 MPa

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

刚度

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 120000·1963/300 = 785398 N/mm

第 2 段的份额

F₂ = 40000·785398/1.623 × 10⁶ = 19355 N

应力

σ₂ = 19355/1963 = 9.857 MPa （压缩）

答案

σ₂ = 9.857 MPa

3.轴的扭转

答案: φ = 14.37 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(26000·38350) = 0.2507 rad

φ = 0.2507·180/π = 14.37°

答案

φ = 14.37°

4.轴的扭转

答案: d = 20.32 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 20000/151.8 = 131.7 N·m

由许用应力求直径

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·131714/(π·80)) = 20.32 mm

答案

d = 20.32 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 72 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

在 x = 6 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 30·6 − 6·6·3 = 72 kN·m

答案

M_x = 72 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 7.313 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2.5 + 3·4·2

R_B = 61.5/4 = 15.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27 − 15.38 = 11.63 kN

在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 11.63·3.5 − 15·(3.5 − 2.5) − 3·3.5·1.75 = 7.313 kN·m

答案

M_x = 7.313 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 14.3 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172.5 mm

腹板: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·172.5 + 1600·80)/7100 = 151.7 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·25³/12 + 5500·(172.5 − 151.7)² = 2.676 × 10⁶ mm⁴

腹板: 10·160³/12 + 1600·(80 − 151.7)² = 1.163 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.676 × 10⁶ + 1.163 × 10⁷ = 1.43 × 10⁷ mm⁴ = 14.3 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 14.3 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: I_x = 227.8 × 10⁶ mm⁴

分成三个矩形

每个 y 都从底边量起。

上翼缘: A = 1920 mm², y = 374 mm

腹板: A = 2800 mm², y = 193 mm

下翼缘: A = 5040 mm², y = 9 mm

形心

ȳ = (1920·374 + 2800·193 + 5040·9)/9760 = 133.6 mm

平行移轴定理

上翼缘: 160·12³/12 + 1920·240.4² = 1.11 × 10⁸ mm⁴

腹板: 8·350³/12 + 2800·59.41² = 3.847 × 10⁷ mm⁴

下翼缘: 280·18³/12 + 5040·124.6² = 7.837 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.11 × 10⁸ + 3.847 × 10⁷ + 7.837 × 10⁷

I_x = 2.278 × 10⁸ mm⁴ = 227.8 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 227.8 × 10⁶ mm⁴

9.莫尔圆与应力变换

答案: τ_xy = 64.81 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

所需半径

C = (50 + (−60))/2 = −5 MPa

R = σ₁ − C = 80 − (−5) = 85 MPa

切应力

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 55²) = 64.81 MPa

答案

τ_xy = 64.81 MPa

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ_vM = 173.2 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σ_Y 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σ_Y/2 时屈服。

主应力

C = 75 MPa, R = 90.14 MPa

σ₁ = 165.1 MPa, σ₂ = −15.14 MPa, σ₃ = 0

冯·米塞斯

σ_vM = √(165.1² − 165.1·(−15.14) + (−15.14)²) = 173.2 MPa

答案

σ_vM = 173.2 MPa

11.梁的挠度

答案: δ_max = 10.88 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 9.35 × 10¹⁰ N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2500⁴/(384·9.35 × 10¹⁰) = 10.88 mm

答案

δ_max = 10.88 mm

12.梁的挠度

答案: δ_max = 41.25 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 30000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

最大值的位置

令较长段内的转角为零，即可得到该位置。

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1000²)/3) = 3416 mm

最大挠度

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 41.25 mm

答案

δ_max = 41.25 mm

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 12.59 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/3500² = 12589 N = 12.59 kN

答案

P_cr = 12.59 kN

14.柱的屈曲

答案: d = 132.3 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2.5·65000 = 162500 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·8000²/(π³·70000))^(1/4) = 132.3 mm

答案

d = 132.3 mm

校核：长细比 KL/r 为 241.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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