轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 70 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 50 kN第 1 段：Ø30 mm，2 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1 m，钢（E = 200 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 250 N·md = 40 mmL = 1.2 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1500 rpm 下传递 20 kW，且切应力不超过 50 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 20 kWN = 1500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
40 kN @ 4 m15 kN @ 6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
35 kN @ 0 m10 kN @ 6 m20 kN @ 2 m6 kN/m, 1–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.形心和惯性矩中等
槽形截面开口朝上：由宽 200 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 160 mm。底板和两肢厚度均为 12 mm。 求形心到底边的高度 ȳ。
b = 200 mmh = 160 mmt = 12 mm
ȳ = mm
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。
bf = 280 mmtf = 10 mmtw = 12 mmhw = 160 mmM = 20 kN·m
σ顶部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 130 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。单元体按顺时针 45°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σy′。
σx = 130 MPaσy = 30 MPaτxy = −60 MPaθ = -45°
σy′ = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 400 mm，壁厚 5 mm，所盛气体的表压为 2.5 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 50° 的螺旋焊缝焊接而成。 求沿焊缝作用的切应力 |τn| 的大小。
D = 400 mmt = 5 mmp = 2.5 MPaα = 50°
|τn| = MPa
11.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 6 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 5 kNw = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 1904 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 70·1000/314.2 = 222.8 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 222.8/117000 = 0.001904 = 1904 µε
答案
ε = 1904 µε
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 159.2 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 70.74 MPa
σ2 = 159.2 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 159.2 MPa
答案
σmax = 159.2 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 2.63 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(26000·251327) = 0.04591 rad
φ = 0.04591·180/π = 2.63°
答案
φ = 2.63°
4.轴的扭转
答案: d = 23.49 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 20000/157.1 = 127.3 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·127324/(π·50)) = 23.49 mm
答案
d = 23.49 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: C (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 34.17 kN, R2 = 20.83 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 68.33, MC = 136.7 kN·m, MD = 125, ME = 83.33, MF = 41.67, MG = 0
答案
标记点 C: MC = 136.7 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: B (x = 1 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 62.33 kN, R2 = 20.67 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −35 kN·m, MC = −10.67, MD = −12.33, ME = −20, MF = −10, MG = 0
答案
标记点 B: MB = −35 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: ȳ = 53.74 mm
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成若干矩形
底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。
基质: A1 = 200·12 = 2400 mm², y1 = 6 mm
两肢: A2 = 2·12·148 = 3552 mm², y2 = 12 + 148/2 = 86 mm
形心
ȳ = (2400·6 + 3552·86)/5952 = 53.74 mm
答案
ȳ = 53.74 mm
8.形心和惯性矩
答案: σ顶部 = 64.1 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 280·10 = 2800 mm², yf = 160 + 10/2 = 165 mm
腹板: Aw = 12·160 = 1920 mm², yw = 160/2 = 80 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·165 + 1920·80)/4720 = 130.4 mm
平行移轴定理
翼缘: 280·10³/12 + 2800·(165 − 130.4)² = 3.371 × 10⁶ mm⁴
腹板: 12·160³/12 + 1920·(80 − 130.4)² = 8.978 × 10⁶ mm⁴
Ix = 3.371 × 10⁶ + 8.978 × 10⁶ = 1.235 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
顶边距中性轴 h − ȳ。
y = 170 − 130.4 = 39.58 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·39.58/1.235 × 10⁷ = 64.1 MPa
答案
σ顶部 = 64.1 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: σy′ = 20 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
y′ 面的变换公式
σy′ = 80 − 50·0 − (−60)·(−1) = 20 MPa
校核
正应力之和不随旋转而变化。
σx′ = 140 MPa, σx′ + σy′ = 160 = σx + σy
答案
σy′ = 20 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: |τn| = 24.62 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 2.5·200/5 = 100 MPa
σa = pr/(2t) = 50 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
|τn| = (100 − 50)·sin 50°·cos 50° = 24.62 MPa
答案
|τn| = 24.62 MPa
11.梁的挠度
答案: δ = 3.488 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 6 N/mm, L = 2500 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 3.488 mm
答案
δ = 3.488 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 11.68 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 5000 N, w = 5 N/mm, L = 5000 mm, EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 5000·5000³/(48·4.6 × 10¹²) = 2.831 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 8.846 mm
相加
δmax = 2.831 + 8.846 = 11.68 mm
答案
δmax = 11.68 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 8.188 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/1500² = 8188 N = 8.188 kN
答案
Pcr = 8.188 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 2.999 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/12.5 = 480
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/480² = 2.999 MPa
答案
σcr = 2.999 MPa
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