轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求钢杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 20 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa，许用应力 150 MPa）放在一根黄铜管（外径 120 mm，内径 50 mm，E = 100 GPa，许用应力 100 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 500 N·md = 50 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心黄铜轴在 750 rpm 下传递 75 kW。切应力不得超过 75 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.5°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 75 kWN = 750 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.5°/mG = 39 GPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
15 kN @ 2 m45 kN @ 4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
45 kN @ 6 m40 kN @ 2 m4 kN/m, 0–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 120 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 120 mm × 150 mm 的板有一个宽 60 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 97.5 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 150 mm切口: 60 × 20 mm孔心: y = 97.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −50 MPa，σᵧ = 0 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = −50 MPaσy = 0 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 140 MPa，σᵧ = −20 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 300 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 140 MPaσy = −20 MPaτxy = −10 MPaσY = 300 MPa
n =
11.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 1 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 28 kNa = 1 mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 125 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/300。求截面的最小高度 hreq。
w = 3 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 125 mm
hreq = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.2122 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 20·1000/706.9 = 28.29 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 28.29/200000 = 0.0001415 = 141.5 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.0001415·1500 mm = 0.2122 mm
答案
δ = 0.2122 mm
2.轴向应力与应变
答案: Pmax = 748.1 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·9346 = 9.975 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.00075, 0.001) = 0.00075 (钢)
最大载荷
Pmax = 0.00075·9.975 × 10⁸ = 748092 N = 748.1 kN
答案
Pmax = 748.1 kN
3.轴的扭转
答案: φ = 0.9577 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(39000·613592) = 0.01672 rad
φ = 0.01672·180/π = 0.9577°
答案
φ = 0.9577°
4.轴的扭转
答案: d = 73.12 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 75000/78.54 = 954.9 N·m
按强度求直径
T = 954.9 N·m = 954930 N·mm
dτ = ∛(16·954930/(π·75)) = 40.18 mm
按刚度求直径
θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·954930/(π·39000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 73.12 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(40.18, 73.12) = 73.12 mm
答案
d = 73.12 mm
这里由刚度控制。
5.剪力和弯矩
答案: C (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 42.5 kN, R2 = 17.5 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 85, MC = 140 kN·m, MD = 105, ME = 70, MF = 35, MG = 0
答案
标记点 C: MC = 140 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: E (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 5.5 kN, R2 = 95.5 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 3.5, MC = 3, MD = −41.5, ME = −90 kN·m, MF = −45, MG = 0
答案
标记点 E: ME = −90 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 25.03 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 120·25 = 3000 mm², yf = 200 + 25/2 = 212.5 mm
腹板: Aw = 12·200 = 2400 mm², yw = 200/2 = 100 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·212.5 + 2400·100)/5400 = 162.5 mm
平行移轴定理
翼缘: 120·25³/12 + 3000·(212.5 − 162.5)² = 7.656 × 10⁶ mm⁴
腹板: 12·200³/12 + 2400·(100 − 162.5)² = 1.738 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.656 × 10⁶ + 1.738 × 10⁷ = 2.503 × 10⁷ mm⁴ = 25.03 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 25.03 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 33.06 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (18000·75 − 1200·97.5)/(18000 − 1200) = 73.39 mm
完整的板关于 ȳ
120·150³/12 + 18000·1.607² = 33.8 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
60·20³/12 + 1200·24.11² = 0.7374 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 33.06 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 33.06 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 70.67 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·20, −50 − 0) = 141.3°
单元体上的角度
θp = 70.67°
答案
θp = 70.67°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: n = 1.974
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 60 MPa, R = 80.62 MPa
σ1 = 140.6 MPa, σ2 = −20.62 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(140.6² − 140.6·(−20.62) + (−20.62)²) = 152 MPa
n = 300/152 = 1.974
答案
n = 1.974
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
11.梁的挠度
答案: δP = 49.19 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 28000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 28000·1000²·2000²/(3·2.53 × 10¹¹·3000) = 49.19 mm
答案
δP = 49.19 mm
12.梁的挠度
答案: hreq = 163.7 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/300 = 3500/300 = 11.67 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·11.67) = 4.568 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·4.568 × 10⁷/125)1/3 = 163.7 mm
答案
hreq = 163.7 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 63.97 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
计算长度
KL = 2·1500 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/3000² = 63970 N = 63.97 kN
答案
Pcr = 63.97 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 27.76 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
回转半径和长细比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/7.5 = 266.7
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266.7² = 27.76 MPa
答案
σcr = 27.76 MPa
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