轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 30 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 25 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 60 mm，长 200 mm，E = 100 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 20 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 100 N·md = 30 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心黄铜轴在 1450 rpm 下传递 15 kW。切应力不得超过 50 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.25°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 15 kWN = 1450 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0.25°/mG = 39 GPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
35 kN @ 10 m30 kN @ 6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
45 kN @ 0 m55 kN @ 6 m40 kN @ 4 m5 kN/m, 1–5 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.形心和惯性矩中等
槽形截面开口朝上：由宽 140 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 100 mm。底板和两肢厚度均为 8 mm。 求形心到底边的高度 ȳ。
b = 140 mmh = 100 mmt = 8 mm
ȳ = mm
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 5 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。
bf = 280 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 120 mmM = 5 kN·m
σ底部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 90 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = −30 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = 90 MPaσy = 30 MPaτxy = −30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 500 mm，壁厚 12 mm，所盛气体的表压为 1.5 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 60° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 500 mmt = 12 mmp = 1.5 MPaα = 60°
σn = MPa
11.梁的挠度中等
长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 2.5 m 处承受集中荷载 P。 求荷载作用处的挠度 δP。
P = 3 kNa = 2.5 mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 2 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (铝)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 80 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 80 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 611.2 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 30·1000/490.9 = 61.12 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 61.12/100000 = 0.0006112 = 611.2 µε
答案
ε = 611.2 µε
2.轴向应力与应变
答案: σ2 = 6.211 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·490.9/500 = 196350 N/mm
k₂ = 100000·2827/200 = 1.414 × 10⁶ N/mm
第 2 段的份额
F2 = 20000·1.414 × 10⁶/1.61 × 10⁶ = 17561 N
应力
σ2 = 17561/2827 = 6.211 MPa （压缩）
答案
σ2 = 6.211 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 1.801 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(80000·79522) = 0.03144 rad
φ = 0.03144·180/π = 1.801°
答案
φ = 1.801°
4.轴的扭转
答案: d = 49.31 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 15000/151.8 = 98.79 N·m
按强度求直径
T = 98.79 N·m = 98786 N·mm
dτ = ∛(16·98786/(π·50)) = 21.59 mm
按刚度求直径
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·98786/(π·39000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 49.31 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(21.59, 49.31) = 49.31 mm
答案
d = 49.31 mm
这里由刚度控制。
5.剪力和弯矩
答案: D (x = 6 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 20.83 kN, R2 = 44.17 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 41.67, MC = 83.33, MD = 125 kN·m, ME = 106.7, MF = 88.33, MG = 0
答案
标记点 D: MD = 125 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: F (x = 5 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 62.5 kN, R2 = 97.5 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −45, MC = −30, MD = −20, ME = −15, MF = −55 kN·m, MG = 0
答案
标记点 F: MF = −55 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: ȳ = 32.4 mm
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成若干矩形
底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。
基质: A1 = 140·8 = 1120 mm², y1 = 4 mm
两肢: A2 = 2·8·92 = 1472 mm², y2 = 8 + 92/2 = 54 mm
形心
ȳ = (1120·4 + 1472·54)/2592 = 32.4 mm
答案
ȳ = 32.4 mm
8.形心和惯性矩
答案: σ底部 = 57.02 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 280·15 = 4200 mm², yf = 120 + 15/2 = 127.5 mm
腹板: Aw = 18·120 = 2160 mm², yw = 120/2 = 60 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·127.5 + 2160·60)/6360 = 104.6 mm
平行移轴定理
翼缘: 280·15³/12 + 4200·(127.5 − 104.6)² = 2.286 × 10⁶ mm⁴
腹板: 18·120³/12 + 2160·(60 − 104.6)² = 6.884 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.286 × 10⁶ + 6.884 × 10⁶ = 9.17 × 10⁶ mm⁴
弯曲应力
底边距中性轴 ȳ。
y = 104.6 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·104.6/9.17 × 10⁶ = 57.02 MPa
答案
σ底部 = 57.02 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 51.21 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 60 MPa, R = √(30² + (−30)²) = 42.43 MPa
σ1 = 102.4 MPa, σ2 = 17.57 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(84.85, 102.4, 17.57)/2 = 51.21 MPa
答案
τabs = 51.21 MPa
这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 19.53 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 1.5·250/12 = 31.25 MPa
σa = pr/(2t) = 15.63 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 15.63·sin²60° + 31.25·cos²60° = 19.53 MPa
答案
σn = 19.53 MPa
11.梁的挠度
答案: δP = 1.86 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 3000 N, a = 2500 mm, L = 3000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa³/(3EI) = 3000·2500³/(3·8.4 × 10¹²) = 1.86 mm
答案
δP = 1.86 mm
12.梁的挠度
答案: Ireq = 1.071 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·2000⁴/(384·70000·5.556) = 1.071 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1.071 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 1.071 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 6.89 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 1·6000 = 6000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/6000² = 6890 N = 6.89 kN
答案
Pcr = 6.89 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 62.73 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·80000 = 240000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 62.73 mm
答案
d = 62.73 mm
校核：长细比 KL/r 为 159.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials