轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 20 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 55 kN第 1 段：Ø40 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø12 mm，2 m，铝（E = 70 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根空心轴须承受 500 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.5 倍，切应力不得超过 60 MPa。求最小外径 do。
T = 500 N·mdi/do = 0.5τallow = 60 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 300 rpm 下传递 15 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 15 kWN = 300 rpmdo = 80 mmdi = 60 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
35 kN @ 4 m8 kN/m, 0–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mP = 25 kN 位于 3 mw = 12 kN/m，从 0 到 5 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 200 mmtf = 10 mmtw = 20 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
对称工字形截面的翼缘宽 190 mm、厚 18 mm，总高度 340 mm，腹板厚 6 mm。 截面承受绕 x 轴的弯矩 30 kN·m。 求腹板与上翼缘交界处弯曲应力 σj 的大小。
B = 190 mmH = 340 mmtf = 18 mmtw = 6 mmM = 30 kN·m
σj = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 60 MPa，σᵧ = 120 MPa，τₓᵧ = 60 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = 60 MPaσy = 120 MPaτxy = 60 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 10 MPa，σᵧ = −60 MPa，τₓᵧ = 10 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 30° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 10 MPaσy = −60 MPaτxy = 10 MPaθ = -30°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θA，以弧度表示。
w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.梁的挠度困难
简支梁在距支座 B 为 b = 1 m 处承受集中荷载 P。 求跨中挠度 δmid。
P = 15 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.3627 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 20·1000/706.9 = 28.29 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 28.29/117000 = 0.0002418 = 241.8 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.0002418·1500 mm = 0.3627 mm
答案
δ = 0.3627 mm
2.轴向应力与应变
答案: δ = 14.55 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 43.77 MPa
σ2 = 486.3 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 43.77·1500/100000 = 0.6565 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 486.3·2000/70000 = 13.89 mm
δ = δ1 + δ2 = 14.55 mm
答案
δ = 14.55 mm
3.轴的扭转
答案: do = 35.64 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
由容许应力求外径
T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·60·0.9375)) = 35.64 mm
di = 0.5·35.64 = 17.82 mm
答案
do = 35.64 mm
实心轴需要 d = 34.88 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
4.轴的扭转
答案: τmax = 6.948 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m
极惯性矩
J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2.749 × 10⁶ mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 477465·40/2.749 × 10⁶ = 6.948 MPa
答案
τmax = 6.948 MPa
5.剪力和弯矩
答案: E (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 33 kN, R2 = 34 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 29, MC = 50, MD = 63, ME = 68 kN·m, MF = 34, MG = 0
答案
标记点 E: ME = 68 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 66 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·3 + 12·5·2.5
RB = 225/5 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 45 = 40 kN
在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 40·3 − 12·3·1.5 = 66 kN·m
答案
Mx = 66 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 67.59 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 200·10 = 2000 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
腹板: Aw = 20·280 = 5600 mm², yw = 280/2 = 140 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·285 + 5600·140)/7600 = 178.2 mm
平行移轴定理
翼缘: 200·10³/12 + 2000·(285 − 178.2)² = 2.285 × 10⁷ mm⁴
腹板: 20·280³/12 + 5600·(140 − 178.2)² = 4.474 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.285 × 10⁷ + 4.474 × 10⁷ = 6.759 × 10⁷ mm⁴ = 67.59 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 67.59 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σj = 23.81 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 340 − 2·18 = 304 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (190·340³ − 184·304³)/12
Ix = 1.915 × 10⁸ mm⁴
弯曲应力
y = 170 − 18 = 152 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·152/1.915 × 10⁸ = 23.81 MPa
答案
σj = 23.81 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 78.54 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 90 MPa, R = √((−30)² + 60²) = 67.08 MPa
σ1 = 157.1 MPa, σ2 = 22.92 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(134.2, 157.1, 22.92)/2 = 78.54 MPa
答案
τabs = 78.54 MPa
这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −16.16 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −25 + 35·0.5 + 10·−0.866 = −16.16 MPa
答案
σθ = −16.16 MPa
11.梁的挠度
答案: θA = 0.003571 rad
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
端部转角
θA = wL³/(24EI) = 15·4000³/(24·1.12 × 10¹³) = 0.003571 rad
答案
θA = 0.003571 rad
即 0.2046°。
12.梁的挠度
答案: δmid = 8.54 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 15000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
跨中挠度
δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 15000·1000·(3·4000² − 4·1000²)/(48·1.61 × 10¹²) = 8.54 mm
答案
δmid = 8.54 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 14.02 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1400² = 14015 N = 14.02 kN
答案
Pcr = 14.02 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 49.35 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/10 = 200
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa
答案
σcr = 49.35 MPa
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