轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 30 mm，长 400 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.25 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 10 kN第 1 段：Ø25 mm，1 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø20 mm，0.5 m，铝（E = 70 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 250 N·md = 40 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 1450 rpm 下传递 100 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 100 kWN = 1450 rpmdo = 100 mmdi = 80 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 5 mP1 = 35 kN 位于 2.5 mP2 = 50 kN 位于 3 m
Mmax = kN·m
6.剪力和弯矩困难
简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 6 mw = 4 kN/m，从 3 到 5 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 100 mmtf = 10 mmtw = 12 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 120 mm × 300 mm 的板有一个宽 40 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 300 mm切口: 40 × 20 mm孔心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 120 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 120 MPaσy = −40 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 50 MPa，σᵧ = −10 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 355 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 50 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPaσY = 355 MPa
n =
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 20 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 19 kNw = 2 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 150 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 150 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 21.24 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·706.9) = 5.659 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.25/1.177 × 10⁻⁵ = 21240 N = 21.24 kN
答案
P = 21.24 kN
2.轴向应力与应变
答案: δ = 0.4311 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 20.37 MPa
σ2 = 31.83 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 20.37·1000/100000 = 0.2037 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 31.83·500/70000 = 0.2274 mm
δ = δ1 + δ2 = 0.4311 mm
答案
δ = 0.4311 mm
3.轴的扭转
答案: φ = 2.192 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(26000·251327) = 0.03826 rad
φ = 0.03826·180/π = 2.192°
答案
φ = 2.192°
4.轴的扭转
答案: τmax = 5.681 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 100000/151.8 = 658.6 N·m
极惯性矩
J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5.796 × 10⁶ mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 658572·50/5.796 × 10⁶ = 5.681 MPa
答案
τmax = 5.681 MPa
5.剪力和弯矩
答案: Mmax = 95 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
ΣMA = 0: RB·5 = 35·2.5 + 50·3
RB = 237.5/5 = 47.5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 47.5 = 37.5 kN
各荷载处的弯矩
保留每个荷载左侧的部分。
荷载点 P1: M = RA·2.5 = 37.5·2.5 = 93.75 kN·m
荷载点 P2: M = RB·2 = 47.5·2 = 95 kN·m
最大值
Mmax = 95 kN·m (荷载点 P2)
答案
Mmax = 95 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 8.889 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 4·2·4
RB = 32/6 = 5.333 kN
ΣFy = 0: RA = 8 − 5.333 = 2.667 kN
剪力为零
剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。
RA − w·(x0 − 3) = 0
x0 = 3 + 2.667/4 = 3.667 m
最大弯矩
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 3)²/2 = 2.667·3.667 − 4·0.6667²/2 = 8.889 kN·m
答案
Mmax = 8.889 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 31.39 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 100·10 = 1000 mm², yf = 260 + 10/2 = 265 mm
腹板: Aw = 12·260 = 3120 mm², yw = 260/2 = 130 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1000·265 + 3120·130)/4120 = 162.8 mm
平行移轴定理
翼缘: 100·10³/12 + 1000·(265 − 162.8)² = 1.046 × 10⁷ mm⁴
腹板: 12·260³/12 + 3120·(130 − 162.8)² = 2.093 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.046 × 10⁷ + 2.093 × 10⁷ = 3.139 × 10⁷ mm⁴ = 31.39 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 31.39 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 268.3 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (36000·150 − 800·105)/(36000 − 800) = 151 mm
完整的板关于 ȳ
120·300³/12 + 36000·−1.023² = 270 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
40·20³/12 + 800·−46.02² = 1.721 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 268.3 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 268.3 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 100 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((120 − −40)/2)² + −60²) = 100 MPa
答案
τmax = 100 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: n = 4.661
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 20 MPa, R = 42.43 MPa
σ1 = 62.43 MPa, σ2 = −22.43 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(62.43² − 62.43·(−22.43) + (−22.43)²) = 76.16 MPa
n = 355/76.16 = 4.661
答案
n = 4.661
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
11.梁的挠度
答案: δmax = 46.88 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 20 N/mm, L = 6000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·6000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 46.88 mm
答案
δmax = 46.88 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 11.12 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 19000 N, w = 2 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 19000·1500³/(48·1.32 × 10¹¹) = 10.12 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·1500⁴/(384·1.32 × 10¹¹) = 0.9988 mm
相加
δmax = 10.12 + 0.9988 = 11.12 mm
答案
δmax = 11.12 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 5.426 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 2·2000 = 4000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4000² = 5426 N = 5.426 kN
答案
Pcr = 5.426 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 70.13 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·150000 = 375000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 70.13 mm
答案
d = 70.13 mm
校核：长细比 KL/r 为 142.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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