轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa）放在一根铝管（外径 80 mm，内径 60 mm，E = 70 GPa）内。二者长度均为 300 mm，在刚性板之间被 80 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 80 kN杆: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 105 kN第 1 段：Ø25 mm，0.5 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø12 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根空心黄铜轴（外径 50 mm，内径 38 mm，长 2.5 m）一端固定，另一端受 2000 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 2000 N·mdo = 50 mmdi = 38 mmL = 2.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 1450 rpm 下传递 20 kW。 其内径为外径的 0.75 倍，切应力不得超过 60 MPa。求最小外径 do。
P = 20 kWN = 1450 rpmdi/do = 0.75τallow = 60 MPa
do = mm
5.剪力和弯矩中等
简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 6 mP1 = 35 kN 位于 1 mP2 = 55 kN 位于 1.5 m
Mmax = kN·m
6.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 6 mP = 60 kN 位于 3.5 mw = 10 kN/m，从 0 到 6 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 100 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 100 mmh = 200 mmd = 50 mm孔心: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 120 mm × 150 mm 的板有一个宽 60 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 45 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 150 mm切口: 60 × 50 mm孔心: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 50 MPa、σᵧ = −60 MPa。在最大主应力达到 60 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = 50 MPaσy = −60 MPaσ1 = 60 MPa
τxy = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 80 MPa，σᵧ = 50 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 460 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 80 MPaσy = 50 MPaτxy = −60 MPaσY = 460 MPa
n =
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (铝)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求固定端弯矩 MA 的大小。
L = 3 mw = 12 kN/m
MA = kN·m
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.1107 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·2199 = 2.168 × 10⁸ N
缩短量
δ = 80000·300/2.168 × 10⁸ = 0.1107 mm
答案
δ = 0.1107 mm
2.轴向应力与应变
答案: δ = 4.502 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 213.9 MPa
σ2 = 928.4 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 213.9·500/200000 = 0.5348 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 928.4·500/117000 = 3.968 mm
δ = δ1 + δ2 = 4.502 mm
答案
δ = 4.502 mm
3.轴的扭转
答案: φ = 17.97 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴
扭转角
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 2.5 m = 2500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·2500/(39000·408885) = 0.3135 rad
φ = 0.3135·180/π = 17.97°
答案
φ = 17.97°
4.轴的扭转
答案: do = 25.38 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 20000/151.8 = 131.7 N·m
由容许应力求外径
T = 131.7 N·m = 131714 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·131714/(π·60·0.6836)) = 25.38 mm
di = 0.75·25.38 = 19.04 mm
答案
do = 25.38 mm
实心轴需要 d = 22.36 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.剪力和弯矩
答案: Mmax = 88.13 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
ΣMA = 0: RB·6 = 35·1 + 55·1.5
RB = 117.5/6 = 19.58 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 19.58 = 70.42 kN
各荷载处的弯矩
保留每个荷载左侧的部分。
荷载点 P1: M = RA·1 = 70.42·1 = 70.42 kN·m
荷载点 P2: M = RB·4.5 = 19.58·4.5 = 88.13 kN·m
最大值
Mmax = 88.13 kN·m (荷载点 P2)
答案
Mmax = 88.13 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 131.3 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·3.5 + 10·6·3
RB = 390/6 = 65 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 65 = 55 kN
V = 0 在哪里？
V(3.5⁻) = RA − w·3.5 = 20 kN
V(3.5⁺) = 20 − 60 = −40 kN
剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。
最大弯矩
Mmax = RA·3.5 − w·3.5²/2 = 55·3.5 − 10·3.5²/2 = 131.3 kN·m
答案
Mmax = 131.3 kN·m
它出现在距 A 为 x = 3.5 m 处。
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 62.88 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (20000·100 − 1963·60)/(20000 − 1963) = 104.4 mm
完整的板关于 ȳ
100·200³/12 + 20000·−4.354² = 67.05 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·50⁴/64 + 1963·−44.35² = 4.17 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 62.88 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 62.88 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 29.89 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (18000·75 − 3000·45)/(18000 − 3000) = 81 mm
完整的板关于 ȳ
120·150³/12 + 18000·−6² = 34.4 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
60·50³/12 + 3000·−36² = 4.513 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 29.89 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 29.89 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 34.64 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (50 + (−60))/2 = −5 MPa
R = σ1 − C = 60 − (−5) = 65 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 55²) = 34.64 MPa
答案
τxy = 34.64 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: n = 3.626
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 65 MPa, R = 61.85 MPa
σ1 = 126.8 MPa, σ2 = 3.153 MPa, σ3 = 0
特雷斯卡
σmax − σmin = 126.8 MPa
n = 460/126.8 = 3.626
答案
n = 3.626
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
11.梁的挠度
答案: δmax = 2.976 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·8.4 × 10¹¹) = 2.976 mm
答案
δmax = 2.976 mm
12.梁的挠度
答案: MA = 13.5 kN·m
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = wL⁴/(8EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·12·3/8 = 13.5 kN
固定端的弯矩
荷载和支撑力对 A 取矩。
MA = wL²/2 − RB·L = 54 − 40.5 = 13.5 kN·m
答案
MA = 13.5 kN·m
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 16.71 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/1050² = 16710 N = 16.71 kN
答案
Pcr = 16.71 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 197.4 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/10 = 100
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa
答案
σcr = 197.4 MPa
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