轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 50 kNd = 10 mmL = 3 mE = 117 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 10 kN第 1 段：Ø40 mm，1 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1 m，铝（E = 70 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 750 N·md = 40 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1450 rpm 下传递 20 kW，且切应力不超过 60 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 20 kWN = 1450 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mw = 3 kN/m，从 0 到 4 mx = 3.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 8 mP = 60 kN 位于 5 mw = 2 kN/m，从 0 到 8 mx = 5 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 120 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 200 mmd = 50 mm孔心: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 120 mm × 200 mm 的板有一个宽 60 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 70 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 200 mm切口: 60 × 40 mm孔心: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 20 MPa，σᵧ = −60 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 20 MPaσy = −60 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 130 MPa，σᵧ = 100 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 250 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 130 MPaσy = 100 MPaτxy = −50 MPaσY = 250 MPa
n =
11.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 1.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 12 kNa = 1.5 mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 6 mw = 4 kN/m
RB = kN
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 5441 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 50·1000/78.54 = 636.6 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 636.6/117000 = 0.005441 = 5441 µε
答案
ε = 5441 µε
2.轴向应力与应变
答案: δ = 1.343 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 7.958 MPa
σ2 = 88.42 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 7.958·1000/100000 = 0.07958 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 88.42·1000/70000 = 1.263 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.343 mm
答案
δ = 1.343 mm
3.轴的扭转
答案: φ = 19.73 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(26000·251327) = 0.3443 rad
φ = 0.3443·180/π = 19.73°
答案
φ = 19.73°
4.轴的扭转
答案: d = 22.36 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 20000/151.8 = 131.7 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·131714/(π·60)) = 22.36 mm
答案
d = 22.36 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 2.625 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 3·4·2
RB = 24/4 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6 = 6 kN
在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 6·3.5 − 3·3.5·1.75 = 2.625 kN·m
答案
Mx = 2.625 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 127.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 60·5 + 2·8·4
RB = 364/8 = 45.5 kN
ΣFy = 0: RA = 76 − 45.5 = 30.5 kN
在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 30.5·5 − 2·5·2.5 = 127.5 kN·m
答案
Mx = 127.5 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 76.27 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (24000·100 − 1963·60)/(24000 − 1963) = 103.6 mm
完整的板关于 ȳ
120·200³/12 + 24000·−3.564² = 80.3 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·50⁴/64 + 1963·−43.56² = 4.033 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 76.27 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 76.27 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 77.28 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (24000·100 − 2400·70)/(24000 − 2400) = 103.3 mm
完整的板关于 ȳ
120·200³/12 + 24000·−3.333² = 80.27 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
60·40³/12 + 2400·−33.33² = 2.987 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 77.28 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 77.28 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 28.15 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·60, 20 − −60) = 56.31°
单元体上的角度
θp = 28.15°
答案
θp = 28.15°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: n = 1.495
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 115 MPa, R = 52.2 MPa
σ1 = 167.2 MPa, σ2 = 62.8 MPa, σ3 = 0
特雷斯卡
σmax − σmin = 167.2 MPa
n = 250/167.2 = 1.495
答案
n = 1.495
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
11.梁的挠度
答案: δP = 22.43 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 12000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 12000·1500²·2500²/(3·6.27 × 10¹¹·4000) = 22.43 mm
答案
δP = 22.43 mm
12.梁的挠度
答案: RB = 9 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = wL⁴/(8EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·4·6/8 = 9 kN
答案
RB = 9 kN
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 78.96 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/1000² = 78957 N = 78.96 kN
答案
Pcr = 78.96 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 17.27 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/15 = 200
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa
答案
σcr = 17.27 MPa
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