轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求铝杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 60 kNd = 30 mmL = 3 mE = 70 GPa
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 30 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 60 mm，长 200 mm，E = 70 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 30 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
一根空心轴须承受 1000 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.6 倍，切应力不得超过 40 MPa。求最小外径 do。
T = 1000 N·mdi/do = 0.6τallow = 40 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
一根直径 60 mm 的实心铝轴在 A 端固定。距 A 3 m 的 B 处作用 1000 N·m 的扭矩，再往前 3 m 的自由端 C 处作用一个反向的 200 N·m 扭矩。 求端部 C 扭转角 φC 的大小，以度表示。
d = 60 mmTB = 1000 N·mTC = 200 N·mAB = 3 mBC = 3 mG = 26 GPa
φC = °
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
35 kN @ 3 m12 kN/m, 2–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
40 kN @ 12 m8 kN/m, 0–10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.形心和惯性矩中等
对称工字形截面的翼缘宽 240 mm、厚 18 mm，总高度 420 mm，腹板厚 10 mm。 求其绕水平形心轴 x 弯曲时的弹性抗弯截面系数 Sx。
B = 240 mmH = 420 mmtf = 18 mmtw = 10 mm
Sx = × 10³ mm³
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。
bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 180 mmM = 20 kN·m
σ底部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 0 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 20 MPa（拉为正）。单元体按逆时针 15°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σy′。
σx = 0 MPaσy = −70 MPaτxy = 20 MPaθ = 15°
σy′ = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −60 MPa，σᵧ = −30 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 25° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −60 MPaσy = −30 MPaτxy = 20 MPaθ = 25°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 2 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 30 kNw = 12 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 3.638 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 60·1000/706.9 = 84.88 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 84.88/70000 = 0.001213 = 1213 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.001213·3000 mm = 3.638 mm
答案
δ = 3.638 mm
2.轴向应力与应变
答案: σ2 = 7.818 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·706.9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 70000·2827/200 = 989602 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 30000·989602/1.343 × 10⁶ = 22105 N
应力
σ2 = 22105/2827 = 7.818 MPa （压缩）
答案
σ2 = 7.818 MPa
3.轴的扭转
答案: do = 52.69 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
由容许应力求外径
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·40·0.8704)) = 52.69 mm
di = 0.6·52.69 = 31.61 mm
答案
do = 52.69 mm
实心轴需要 d = 50.31 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
4.轴的扭转
答案: φC = 3.118 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC − TB = 200 − 1000 = −800 N·m
各段的扭转角
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = −800000·3000/(26000·1.272 × 10⁶) = −0.07255 rad
φBC = 200000·3000/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.01814 rad
端部 C 的扭转角
φC = −0.07255 + 0.01814 = −0.05441 rad → |φC| = 3.118°
答案
φC = 3.118°
5.剪力和弯矩
答案: D (x = 3 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 29.5 kN, R2 = 29.5 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 29.5, MC = 59, MD = 82.5 kN·m, ME = 59, MF = 29.5, MG = 0
答案
标记点 D: MD = 82.5 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: F (x = 10 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 32 kN, R2 = 88 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 48, MC = 64, MD = 48, ME = 0, MF = −80 kN·m, MG = 0
答案
标记点 F: MF = −80 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Sx = 1888 × 10³ mm³
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 420 − 2·18 = 384 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (240·420³ − 230·384³)/12
Ix = 3.965 × 10⁸ mm⁴
抗弯截面系数
c = H/2 = 210 mm
Sx = I/c = 3.965 × 10⁸/210
Sx = 1.888 × 10⁶ mm³ = 1888 × 10³ mm³
答案
Sx = 1888 × 10³ mm³
8.形心和惯性矩
答案: σ底部 = 103.3 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 180 + 20/2 = 190 mm
腹板: Aw = 18·180 = 3240 mm², yw = 180/2 = 90 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·190 + 3240·90)/9240 = 154.9 mm
平行移轴定理
翼缘: 300·20³/12 + 6000·(190 − 154.9)² = 7.577 × 10⁶ mm⁴
腹板: 18·180³/12 + 3240·(90 − 154.9)² = 2.241 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.577 × 10⁶ + 2.241 × 10⁷ = 2.999 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
底边距中性轴 ȳ。
y = 154.9 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·154.9/2.999 × 10⁷ = 103.3 MPa
答案
σ底部 = 103.3 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: σy′ = −75.31 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
y′ 面的变换公式
σy′ = −35 − 35·0.866 − 20·0.5 = −75.31 MPa
校核
正应力之和不随旋转而变化。
σx′ = 5.311 MPa, σx′ + σy′ = −70 = σx + σy
答案
σy′ = −75.31 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −39.32 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −45 + −15·0.6428 + 20·0.766 = −39.32 MPa
答案
σθ = −39.32 MPa
11.梁的挠度
答案: δ = 13.71 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 2·5000⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 13.71 mm
答案
δ = 13.71 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 1.889 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 30000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm, EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 30000·2500³/(48·8.4 × 10¹²) = 1.163 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 0.7266 mm
相加
δmax = 1.163 + 0.7266 = 1.889 mm
答案
δmax = 1.889 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 2.35 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/2800² = 2350 N = 2.35 kN
答案
Pcr = 2.35 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 31.58 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
回转半径和长细比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/20 = 250
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31.58 MPa
答案
σcr = 31.58 MPa
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