材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等
Ø 12 mm铜2.5 mP = 85 kN

求铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。

P = 85 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
80 kN12300 mm500 mmØ40Ø50σ2​ = ?

一段钢（直径 40 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 50 mm，长 500 mm，E = 70 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 80 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。

第 1 段: 钢, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
do​ = ?T = 750 N·m

一根空心轴须承受 750 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.6 倍，切应力不得超过 60 MPa。求最小外径 do。

T = 750 N·mdi/do = 0.6τallow = 60 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
Tdo​ = 40 mm, di​ = 20 mm

一根空心轴在 750 rpm 下传递 100 kW。求轴中的最大切应力 τmax。

P = 100 kWN = 750 rpmdo = 40 mmdi = 20 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
10 kN/m55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 3 m10 kN/m, 2–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
w = 4 kN/mP = 35 kNAB截面4 m4 m2 m

求距支座 A 为 x = 8 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 35 kN 位于 4 mw = 4 kN/m，从 0 到 10 mx = 8 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
B = 100H = 200t = 6x尺寸单位为 mm

空心矩形（箱形）截面的外宽 B = 100 mm，外高 H = 200 mm，壁厚均为 t = 6 mm。 求其对水平形心轴的回转半径 r。

B = 100 mmH = 200 mmt = 6 mm
r = mm
8.形心和惯性矩困难
3002024016xM = 5 kN·m尺寸单位为 mm

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 5 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。

bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 240 mmM = 5 kN·m
σ顶部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = 150σy​ = 120τxy​ = 30MPa

受载零件中某点的应力为 σₓ = 150 MPa，σᵧ = 120 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。

σx = 150 MPaσy = 120 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
σx​ = 150σy​ = −40τxy​ = −60MPa

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 150 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 350 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。

σx = 150 MPaσy = −40 MPaτxy = −60 MPaσY = 350 MPa
n =
11.梁的挠度中等
P = 2 kNABδ2 m2 m

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。

P = 2 kNa = 2 mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.梁的挠度困难
P = 26 kNABδ3.5 m2.5 m

简支梁在距支座 B 为 b = 2.5 m 处承受集中荷载 P。 求梁的最大挠度 δmax。

P = 26 kNb = 2.5 mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
PL = 2.5 md = 20 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
PL = 2 md = 60 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
σcr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 16.06 mm

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 85·1000/113.1 = 751.6 MPa

应变（胡克定律）

E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 751.6/117000 = 0.006424 = 6424 µε

伸长量

δ = ε·L = 0.006424·2500 mm = 16.06 mm

答案

δ = 16.06 mm
2.轴向应力与应变

答案: σ2 = 10.07 MPa

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

刚度

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm
k₂ = 70000·1963/500 = 274889 N/mm

第 2 段的份额

F2 = 80000·274889/1.113 × 10⁶ = 19765 N

应力

σ2 = 19765/1963 = 10.07 MPa （压缩）

答案

σ2 = 10.07 MPa
3.轴的扭转

答案: do = 41.82 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

由容许应力求外径

T = 750 N·m = 750000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·60·0.8704)) = 41.82 mm
di = 0.6·41.82 = 25.09 mm

答案

do = 41.82 mm

实心轴需要 d = 39.93 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。

4.轴的扭转

答案: τmax = 108.1 MPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m

极惯性矩

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

最大切应力

τmax = T·(do/2)/J = 1.273 × 10⁶·20/235619 = 108.1 MPa

答案

τmax = 108.1 MPa
5.剪力和弯矩

答案: D (x = 3 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 37.5 kN, R2 = 37.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 37.5, MC = 75, MD = 107.5 kN·m, ME = 75, MF = 37.5, MG = 0

答案

标记点 D: MD = 107.5 kN·m
6.剪力和弯矩

答案: Mx = 60 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 35·4 + 4·10·5
RB = 340/10 = 34 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 34 = 41 kN
w = 4 kN/mP = 35 kNABRA​ = 41RB​ = 34截面4 m4 m2 m

在 x = 8 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 41·8 − 35·(8 − 4) − 4·8·4 = 60 kN·m

答案

Mx = 60 kN·m
7.形心和惯性矩

答案: r = 72.05 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。 回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

b = 88 mm, h = 188 mm
A = BH − bh = 100·200 − 88·188 = 3456 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 1.794 × 10⁷ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(1.794 × 10⁷/3456) = 72.05 mm

答案

r = 72.05 mm
8.形心和惯性矩

答案: σ顶部 = 5.217 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 240 + 20/2 = 250 mm
腹板: Aw = 16·240 = 3840 mm², yw = 240/2 = 120 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·250 + 3840·120)/9840 = 199.3 mm

平行移轴定理

翼缘: 300·20³/12 + 6000·(250 − 199.3)² = 1.564 × 10⁷ mm⁴
腹板: 16·240³/12 + 3840·(120 − 199.3)² = 4.256 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.564 × 10⁷ + 4.256 × 10⁷ = 5.82 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 260 − 199.3 = 60.73 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·60.73/5.82 × 10⁷ = 5.217 MPa

答案

σ顶部 = 5.217 MPa
9.莫尔圆与应力变换

答案: θp = 31.72 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

σxyCσ1​σ2​

圆上的角度

在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。

2θp = atan2(2·30, 150 − 120) = 63.43°

单元体上的角度

θp = 31.72°

答案

θp = 31.72°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: n = 1.731

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。

στxyCσ1​σ2​

主应力

C = 55 MPa, R = 112.4 MPa
σ1 = 167.4 MPa, σ2 = −57.36 MPa, σ3 = 0

冯·米塞斯

σvM = √(167.4² − 167.4·(−57.36) + (−57.36)²) = 202.2 MPa
n = 350/202.2 = 1.731

答案

n = 1.731

n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。

11.梁的挠度

答案: δB = 1.852 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 2000 N, a = 2000 mm, L = 4000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δP = Pa³/(3EI) = 0.7407 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.0005556 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1.852 mm

答案

δB = 1.852 mm
12.梁的挠度

答案: δmax = 24.51 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 26000 N, b = 2500 mm, L = 6000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

最大值的位置

令较长段内的转角为零，即可得到该位置。

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2500²)/3) = 3149 mm

最大挠度

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 24.51 mm

答案

δmax = 24.51 mm
13.柱的屈曲

答案: Pcr = 2.481 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

计算长度

KL = 1·2500 = 2500 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2.481 kN

答案

Pcr = 2.481 kN
14.柱的屈曲

答案: σcr = 38.86 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133.3

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133.3² = 38.86 MPa

答案

σcr = 38.86 MPa

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