轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根铝管（外径 120 mm，内径 70 mm，E = 70 GPa）内。二者长度均为 500 mm，在刚性板之间被 50 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 50 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 110 kN第 1 段：Ø25 mm，1.5 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 250 N·md = 40 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 3000 rpm 下传递 75 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 75 kWN = 3000 rpmdo = 50 mmdi = 25 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mw = 10 kN/m，从 0 到 6 mx = 2 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 8 mP = 45 kN 位于 4 mw = 5 kN/m，从 0 到 8 mx = 4 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
对称工字形截面的翼缘宽 190 mm、厚 16 mm，总高度 460 mm，腹板厚 8 mm。 求其绕水平形心轴 x 弯曲时的弹性抗弯截面系数 Sx。
B = 190 mmH = 460 mmtf = 16 mmtw = 8 mm
Sx = × 10³ mm³
8.形心和惯性矩困难
一块 120 mm × 300 mm 的板有一个宽 80 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 180 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 300 mm切口: 80 × 40 mm孔心: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 0 MPa，σᵧ = −30 MPa，τₓᵧ = 10 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 0 MPaσy = −30 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 160 MPa，σᵧ = −20 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 15° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 160 MPaσy = −20 MPaτxy = 40 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 20 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.03767 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·7461 = 6.637 × 10⁸ N
缩短量
δ = 50000·500/6.637 × 10⁸ = 0.03767 mm
答案
δ = 0.03767 mm
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 972.6 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 224.1 MPa
σ2 = 972.6 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 972.6 MPa
答案
σmax = 972.6 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 6.576 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(26000·251327) = 0.1148 rad
φ = 0.1148·180/π = 6.576°
答案
φ = 6.576°
4.轴的扭转
答案: τmax = 10.38 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 75000/314.2 = 238.7 N·m
极惯性矩
J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 238732·25/575243 = 10.38 MPa
答案
τmax = 10.38 MPa
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 40 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·6·3
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 30·2 − 10·2·1 = 40 kN·m
答案
Mx = 40 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 130 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 45·4 + 5·8·4
RB = 340/8 = 42.5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 42.5 = 42.5 kN
在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 42.5·4 − 5·4·2 = 130 kN·m
答案
Mx = 130 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Sx = 1531 × 10³ mm³
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 460 − 2·16 = 428 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (190·460³ − 182·428³)/12
Ix = 3.52 × 10⁸ mm⁴
抗弯截面系数
c = H/2 = 230 mm
Sx = I/c = 3.52 × 10⁸/230
Sx = 1.531 × 10⁶ mm³ = 1531 × 10³ mm³
答案
Sx = 1531 × 10³ mm³
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 266.4 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (36000·150 − 3200·180)/(36000 − 3200) = 147.1 mm
完整的板关于 ȳ
120·300³/12 + 36000·2.927² = 270.3 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
80·40³/12 + 3200·32.93² = 3.896 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 266.4 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 266.4 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 18.03 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((0 − −30)/2)² + 10²) = 18.03 MPa
答案
τmax = 18.03 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 167.9 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 70 + 90·0.866 + 40·0.5 = 167.9 MPa
答案
σθ = 167.9 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 6.318 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 20 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 6.318 mm
答案
δmax = 6.318 mm
12.梁的挠度
答案: Ireq = 4.395 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·2500⁴/(384·200000·6.944) = 4.395 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 4.395 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 4.395 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 2.591 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
计算长度
KL = 1·6000 = 6000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/6000² = 2591 N = 2.591 kN
答案
Pcr = 2.591 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 19.28 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
回转半径和长细比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/6.25 = 320
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19.28 MPa
答案
σcr = 19.28 MPa
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