轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根黄铜管（外径 100 mm，内径 60 mm，E = 100 GPa）内。二者长度均为 500 mm，在刚性板之间被 200 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 200 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 25 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 40 mm，长 300 mm，E = 120 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 80 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 400 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 60 mm 的实心钢轴在 A 端固定。距 A 3 m 的 B 处作用 200 N·m 的扭矩，再往前 0.8 m 的自由端 C 处作用一个同向的 250 N·m 扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 60 mmTB = 200 N·mTC = 250 N·mAB = 3 mBC = 0.8 m
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
简支梁在距 A 为 x = 2 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 30 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mM0 = 30 kN·m 顺时针，作用于 2 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mP = 35 kN 位于 4 mw = 3 kN/m，从 0 到 6 mx = 4 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 100 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 195 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 100 mmh = 300 mmd = 40 mm孔心: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 5 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。
bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 300 mmM = 5 kN·m
σ顶部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −70 MPa，σᵧ = 90 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = −70 MPaσy = 90 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 20 MPa，σᵧ = −60 MPa，τₓᵧ = −30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 35° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 20 MPaσy = −60 MPaτxy = −30 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 6 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
简支梁在距支座 B 为 b = 2.5 m 处承受集中荷载 P。 求梁的最大挠度 δmax。
P = 4 kNb = 2.5 mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.1553 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·5027 = 6.44 × 10⁸ N
缩短量
δ = 200000·500/6.44 × 10⁸ = 0.1553 mm
答案
δ = 0.1553 mm
2.轴向应力与应变
答案: σ2 = 42.78 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 120000·1257/300 = 502655 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 80000·502655/748092 = 53753 N
应力
σ2 = 53753/1257 = 42.78 MPa （压缩）
答案
σ2 = 42.78 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 13.3 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(26000·79522) = 0.2322 rad
φ = 0.2322·180/π = 13.3°
答案
φ = 13.3°
4.轴的扭转
答案: τmax = 10.61 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC + TB = 250 + 200 = 450 N·m
最大切应力
内扭矩最大的一段应力最大（直径相同）。
|T|max = 450 N·m
τmax = 16·450000/(π·60³) = 10.61 MPa
答案
τmax = 10.61 MPa
5.剪力和弯矩
答案: Mx = −15 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。
支座反力
对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 30/4 = 7.5 kN (向上)
RA = −RB = −7.5 kN (向下)
在力偶左侧紧邻处截开
左侧部分只包含 RA。
Mx = RA·a = −7.5·2 = −15 kN·m
答案
Mx = −15 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 58.67 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 35·4 + 3·6·3
RB = 194/6 = 32.33 kN
ΣFy = 0: RA = 53 − 32.33 = 20.67 kN
在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 20.67·4 − 3·4·2 = 58.67 kN·m
答案
Mx = 58.67 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 222.2 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (30000·150 − 1257·195)/(30000 − 1257) = 148 mm
完整的板关于 ȳ
100·300³/12 + 30000·1.967² = 225.1 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·40⁴/64 + 1257·46.97² = 2.898 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 222.2 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 222.2 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σ顶部 = 6.629 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 300 + 10/2 = 305 mm
腹板: Aw = 18·300 = 5400 mm², yw = 300/2 = 150 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·305 + 5400·150)/8000 = 200.4 mm
平行移轴定理
翼缘: 260·10³/12 + 2600·(305 − 200.4)² = 2.848 × 10⁷ mm⁴
腹板: 18·300³/12 + 5400·(150 − 200.4)² = 5.42 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.848 × 10⁷ + 5.42 × 10⁷ = 8.269 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
顶边距中性轴 h − ȳ。
y = 310 − 200.4 = 109.6 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·109.6/8.269 × 10⁷ = 6.629 MPa
答案
σ顶部 = 6.629 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 82.46 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((−70 − 90)/2)² + −20²) = 82.46 MPa
答案
τmax = 82.46 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −34.51 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −20 + 40·0.342 + −30·0.9397 = −34.51 MPa
答案
σθ = −34.51 MPa
11.梁的挠度
答案: δ = 1.053 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 6 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 1.053 mm
答案
δ = 1.053 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 20.65 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 4000 N, b = 2500 mm, L = 6000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
最大值的位置
令较长段内的转角为零，即可得到该位置。
x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2500²)/3) = 3149 mm
最大挠度
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 20.65 mm
答案
δmax = 20.65 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 21.7 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 2·4000 = 8000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/8000² = 21704 N = 21.7 kN
答案
Pcr = 21.7 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 12.34 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/12.5 = 400
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa
答案
σcr = 12.34 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials