轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求铝杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 30 kNd = 30 mmL = 1 mE = 70 GPa
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa，许用应力 200 MPa）放在一根黄铜管（外径 120 mm，内径 70 mm，E = 100 GPa，许用应力 70 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 400 N·md = 50 mmL = 0.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 40 mm 的实心黄铜轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 3 m、距 B 0.8 m 的 C 处施加 250 N·m 的扭矩。 求截面 C 的转角 φC，以度表示。
d = 40 mmT0 = 250 N·ma = 3 mb = 0.8 mG = 39 GPa
φC = °
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mw = 12 kN/m，从 0 到 5 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
30 kN @ 0 m40 kN @ 6 m35 kN @ 4 m8 kN/m, 1–5 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.形心和惯性矩中等
一块 150 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 45 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 150 mmh = 150 mmd = 60 mm孔心: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 200 mm × 240 mm 的板有一个宽 80 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 96 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 200 mmh = 240 mm切口: 80 × 20 mm孔心: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 30 MPa，σᵧ = 90 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 30 MPaσy = 90 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −80 MPa，σᵧ = 60 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 25° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −80 MPaσy = 60 MPaτxy = 30 MPaθ = 25°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。
P = 10 kNw = 8 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
简支梁在距支座 B 为 b = 2.5 m 处承受集中荷载 P。 求跨中挠度 δmid。
P = 6 kNb = 2.5 mL = 8 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.6063 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 30·1000/706.9 = 42.44 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 42.44/70000 = 0.0006063 = 606.3 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.0006063·1000 mm = 0.6063 mm
答案
δ = 0.6063 mm
2.轴向应力与应变
答案: Pmax = 591 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·7461 = 8.443 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.001, 0.0007) = 0.0007 (黄铜)
最大载荷
Pmax = 0.0007·8.443 × 10⁸ = 591012 N = 591 kN
答案
Pmax = 591 kN
3.轴的扭转
答案: φ = 0.4789 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(39000·613592) = 0.008358 rad
φ = 0.008358·180/π = 0.4789°
答案
φ = 0.4789°
4.轴的扭转
答案: φC = 0.923 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·0.8/3.8 = 52.63 N·m
TB = 250·3/3.8 = 197.4 N·m
C 的转角
用 AC 段：它在 A 端固定，承受 TA。
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 52632·3000/(39000·251327) = 0.01611 rad = 0.923°
答案
φC = 0.923°
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 31.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 12·5·2.5
RB = 150/5 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 30·1.5 − 12·1.5·0.75 = 31.5 kN·m
答案
Mx = 31.5 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: F (x = 5 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 52.25 kN, R2 = 84.75 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −30, MC = −11.75, MD = −1.5, ME = 0.75, MF = −40 kN·m, MG = 0
答案
标记点 F: MF = −40 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 38.64 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (22500·75 − 2827·45)/(22500 − 2827) = 79.31 mm
完整的板关于 ȳ
150·150³/12 + 22500·−4.312² = 42.61 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·60⁴/64 + 2827·−34.31² = 3.965 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 38.64 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 38.64 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 229.4 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (48000·120 − 1600·96)/(48000 − 1600) = 120.8 mm
完整的板关于 ȳ
200·240³/12 + 48000·−0.8276² = 230.4 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
80·20³/12 + 1600·−24.83² = 1.04 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 229.4 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 229.4 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 58.31 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((30 − 90)/2)² + −50²) = 58.31 MPa
答案
τmax = 58.31 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −32.01 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −10 + −70·0.6428 + 30·0.766 = −32.01 MPa
答案
σθ = −32.01 MPa
11.梁的挠度
答案: δ = 1.942 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 10000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(3EI) = 10000·1500³/(3·8.4 × 10¹²) = 1.339 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 0.6027 mm
相加
δ = 1.339 + 0.6027 = 1.942 mm
答案
δ = 1.942 mm
12.梁的挠度
答案: δmid = 4.66 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 6000 N, b = 2500 mm, L = 8000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
跨中挠度
δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 6000·2500·(3·8000² − 4·2500²)/(48·1.12 × 10¹³) = 4.66 mm
答案
δmid = 4.66 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 30.08 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/3500² = 30079 N = 30.08 kN
答案
Pcr = 30.08 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 111 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
回转半径和长细比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/7.5 = 133.3
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133.3² = 111 MPa
答案
σcr = 111 MPa
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