轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 20 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 30 mm，长 500 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.5 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 10 kN第 1 段：Ø35 mm，1 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø20 mm，0.5 m，钢（E = 200 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 1000 N·md = 40 mmL = 2.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 60 mm 的实心铝轴在 A 端固定。距 A 0.8 m 的 B 处作用 1500 N·m 的扭矩，再往前 2.5 m 的自由端 C 处作用一个反向的 750 N·m 扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 60 mmTB = 1500 N·mTC = 750 N·mAB = 0.8 mBC = 2.5 m
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mw = 2 kN/m，从 0 到 10 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
10 kN @ 0 m20 kN @ 12 m20 kN @ 6 m12 kN/m, 2–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 280 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
焊接工字形截面的上翼缘为 140 × 16 mm，腹板高 260 mm、厚 10 mm，下翼缘为 290 × 20 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
上翼缘: 140 × 16 mm腹板: 10 × 260 mm下翼缘: 290 × 20 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 70 MPa、σᵧ = 80 MPa、τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = 70 MPaσy = 80 MPaτxy = −40 MPa
θs = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −50 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 30° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −50 MPaσy = 110 MPaτxy = 20 MPaθ = -30°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。
P = 6 kNw = 12 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 3 kNw = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 33.26 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314.2) = 7.958 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·706.9) = 7.074 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.5/1.503 × 10⁻⁵ = 33264 N = 33.26 kN
答案
P = 33.26 kN
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 31.83 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 10.39 MPa
σ2 = 31.83 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 31.83 MPa
答案
σmax = 31.83 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 7.124 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2500/(80000·251327) = 0.1243 rad
φ = 0.1243·180/π = 7.124°
答案
φ = 7.124°
4.轴的扭转
答案: τmax = 17.68 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 750 N·m
TAB = TC − TB = 750 − 1500 = −750 N·m
最大切应力
内扭矩最大的一段应力最大（直径相同）。
|T|max = 750 N·m
τmax = 16·750000/(π·60³) = 17.68 MPa
答案
τmax = 17.68 MPa
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 12.75 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 2·10·5
RB = 100/10 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 10·1.5 − 2·1.5·0.75 = 12.75 kN·m
答案
Mx = 12.75 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: E (x = 8 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 42.67 kN, R2 = 79.33 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −20, MC = 21.33, MD = 14.67, ME = −80 kN·m, MF = −40, MG = 0
答案
标记点 E: ME = −80 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 90.45 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 280·30 = 8400 mm², yf = 280 + 30/2 = 295 mm
腹板: Aw = 14·280 = 3920 mm², yw = 280/2 = 140 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (8400·295 + 3920·140)/12320 = 245.7 mm
平行移轴定理
翼缘: 280·30³/12 + 8400·(295 − 245.7)² = 2.106 × 10⁷ mm⁴
腹板: 14·280³/12 + 3920·(140 − 245.7)² = 6.939 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.106 × 10⁷ + 6.939 × 10⁷ = 9.045 × 10⁷ mm⁴ = 90.45 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 90.45 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 147.5 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成三个矩形
每个 y 都从底边量起。
上翼缘: A = 2240 mm², y = 288 mm
腹板: A = 2600 mm², y = 150 mm
下翼缘: A = 5800 mm², y = 10 mm
形心
ȳ = (2240·288 + 2600·150 + 5800·10)/10640 = 102.7 mm
平行移轴定理
上翼缘: 140·16³/12 + 2240·185.3² = 7.693 × 10⁷ mm⁴
腹板: 10·260³/12 + 2600·47.26² = 2.045 × 10⁷ mm⁴
下翼缘: 290·20³/12 + 5800·92.74² = 5.007 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.693 × 10⁷ + 2.045 × 10⁷ + 5.007 × 10⁷
Ix = 1.475 × 10⁸ mm⁴ = 147.5 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 147.5 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: θs = 86.44 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = −40/40.31 = −0.9923, sin 2θs = −(−5)/40.31 = 0.124
2θs = atan2(5, −40) = 172.9°
单元体上的角度
θs = 86.44°
校核: θs − θp = 86.44 − (−48.56) = 135°
答案
θs = 86.44°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −27.32 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 30 + −80·0.5 + 20·−0.866 = −27.32 MPa
答案
σθ = −27.32 MPa
11.梁的挠度
答案: δ = 52.85 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 6000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(3EI) = 6000·2500³/(3·1.7 × 10¹²) = 18.38 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 12·2500⁴/(8·1.7 × 10¹²) = 34.47 mm
相加
δ = 18.38 + 34.47 = 52.85 mm
答案
δ = 52.85 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 2.868 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 3000 N, w = 2 N/mm, L = 5000 mm, EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 3000·5000³/(48·8.4 × 10¹²) = 0.9301 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 1.938 mm
相加
δmax = 0.9301 + 1.938 = 2.868 mm
答案
δmax = 2.868 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 188.7 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/1250² = 188654 N = 188.7 kN
答案
Pcr = 188.7 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 56.65 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/15 = 186.7
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/186.7² = 56.65 MPa
答案
σcr = 56.65 MPa
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