材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

求钢杆在轴向荷载下的伸长量 δ。

P = 15 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σ_max。

P = 10 kN第 1 段：Ø35 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø20 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）

σ_max = MPa

3.轴的扭转中等

一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 200 N·md = 30 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根实心轴需在 1800 rpm 下传递 100 kW，且切应力不超过 40 MPa。求满足要求的最小直径 d。

P = 100 kWN = 1800 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 7.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 2 kN/m，从 0 到 8 mx = 7.5 m

V_x = kN

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 45 kN 位于 3 mw = 10 kN/m，从 0 到 10 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

7.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 5 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmM = 5 kN·m

σ_顶部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

某点 σₓ = 10 MPa、σᵧ = 80 MPa。在最大主应力达到 105 MPa 之前，切应力 τ_xy（大小）最大可以是多少？

σ_x = 10 MPaσ_y = 80 MPaσ₁ = 105 MPa

τ_xy = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 160 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（σ_z = 0）。材料的屈服强度为 250 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。

σ_x = 160 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 12 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 12 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 1.658 mm

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 15·1000/113.1 = 132.6 MPa

应变（胡克定律）

E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 132.6/200000 = 0.0006631 = 663.1 µε

伸长量

δ = ε·L = 0.0006631·2500 mm = 1.658 mm

答案

δ = 1.658 mm

2.轴向应力与应变

答案: σ_max = 31.83 MPa

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 10.39 MPa

σ₂ = 31.83 MPa

最大应力

较细的一段面积较小，因此应力较大。

σ_max = 31.83 MPa

答案

σ_max = 31.83 MPa

3.轴的扭转

答案: φ = 5.542 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(26000·79522) = 0.09673 rad

φ = 0.09673·180/π = 5.542°

答案

φ = 5.542°

4.轴的扭转

答案: d = 40.73 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 100000/188.5 = 530.5 N·m

由许用应力求直径

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·530516/(π·40)) = 40.73 mm

答案

d = 40.73 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

5.剪力和弯矩

答案: V_x = −7 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

在 x = 7.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 8 − 2·7.5 = −7 kN

答案

V_x = −7 kN

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 111 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·3 + 10·10·5

R_B = 635/10 = 63.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 145 − 63.5 = 81.5 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 81.5·1.5 − 10·1.5·0.75 = 111 kN·m

答案

M_x = 111 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 39.7 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

腹板: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·275 + 2080·130)/5680 = 221.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 120·30³/12 + 3600·(275 − 221.9)² = 1.042 × 10⁷ mm⁴

腹板: 8·260³/12 + 2080·(130 − 221.9)² = 2.928 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.042 × 10⁷ + 2.928 × 10⁷ = 3.97 × 10⁷ mm⁴ = 39.7 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 39.7 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 6.149 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212.5 mm

腹板: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·212.5 + 4000·100)/10500 = 169.6 mm

平行移轴定理

翼缘: 260·25³/12 + 6500·(212.5 − 169.6)² = 1.228 × 10⁷ mm⁴

腹板: 20·200³/12 + 4000·(100 − 169.6)² = 3.273 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.228 × 10⁷ + 3.273 × 10⁷ = 4.501 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 225 − 169.6 = 55.36 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·55.36/4.501 × 10⁷ = 6.149 MPa

答案

σ_顶部 = 6.149 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: τ_xy = 48.73 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

所需半径

C = (10 + 80)/2 = 45 MPa

R = σ₁ − C = 105 − 45 = 60 MPa

切应力

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 35²) = 48.73 MPa

答案

τ_xy = 48.73 MPa

10.莫尔圆与应力变换

答案: n = 1.244

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σ_Y 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σ_Y/2 时屈服。

主应力

C = 60 MPa, R = 100.5 MPa

σ₁ = 160.5 MPa, σ₂ = −40.5 MPa, σ₃ = 0

特雷斯卡

σ_max − σ_min = 201 MPa

n = 250/201 = 1.244

答案

n = 1.244

n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。

11.梁的挠度

答案: δ_max = 1.262 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·1500⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 1.262 mm

答案

δ_max = 1.262 mm

12.梁的挠度

答案: I_req = 17.26 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·1500⁴/(384·11000·4.167) = 1.726 × 10⁷ mm⁴

I_req = 17.26 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 17.26 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 60.16 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/1750² = 60158 N = 60.16 kN

答案

P_cr = 60.16 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 226.6 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/7.5 = 93.33

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/93.33² = 226.6 MPa

答案

σ_cr = 226.6 MPa

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