数值方法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数值方法

二分法
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
牛顿–拉弗森法
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
线性插值
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
梯形法则
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
辛普森法则（n 为偶数）
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
梯形法则的误差界
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
欧拉
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
休恩法
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

方法

  1. 求根：二分法要检查变号，牛顿法要计算 f 和 f′，并在迭代值表中保留六位或更多位数字。
  2. 求表中的值：在两个相邻的点之间做线性插值。
  3. 求积分：求出 h = (b − a)/n，列出每个节点处的 f，应用权重（梯形法则为 1, 2, …, 2, 1；n 为偶数时辛普森法则为 1, 4, 2, …, 4, 1），再乘以 h/2 或 h/3。
  4. 求常微分方程：从 t₀ 出发，用 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（欧拉法）或平均斜率（休恩法）逐步前进，每步一行，直到到达所要求的 t。

数列与级数

等差数列
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径
R = lim |ck/ck+1|
泰勒多项式
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

  1. 判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
  2. 求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
  3. 判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
  4. 对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

矩阵与行列式

2×2 行列式
det = ad − bc
2×2 逆矩阵
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品
(AB)ij = Σk AikBkj
特征值
det(A − λI) = 0
克拉默法则
xi = det(Ai)/det(A)

微分方程

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.数值方法中等
xy12.54

用辛普森法则（n = 2）近似计算 ∫14 1/x dx，并与精确值比较。求绝对误差 |E| = |S − I|。

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 2
|E| =
2.数值方法困难
00.10.20.30.40.50.60.7ty(0, 0.5)

对 y′ = y − t²，y(0) = 0.5，用休恩法（改进欧拉法），取 h = 0.2，估计 y2 ≈ y(0.4)。

y′ = y − t²y(0) = 0.5h = 0.2
y2 =
3.数列与级数中等
xx₀ = −1??R

求幂级数 Σk=1∞ k!·(x + 1)ᵏ/kᵏ 的收敛半径 R。

Σ k!·(x + 1)ᵏ/kᵏx₀ = −1
R =
4.数列与级数困难

f(x) = eˣ 在 x = 0.2 处用其 4 次麦克劳林多项式近似。用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = e0.2 = 1.221）求最大可能误差 |R₄|。

f(x) = eˣn = 4x = 0.2M = 1.221
|R₄| =
5.矩阵与行列式中等
A =1−5−11−554−12

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [1 −5 −1; 1 −5 5; 4 −1 2]
det A =
6.矩阵与行列式困难
A =3−27−6

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [3 −2; 7 −6]
λ =
7.微分方程中等
tyy(0) = 2y(2) = ?

解 y″ + 8y′ + 16y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = 0。求 y(2)。

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(2) =
8.微分方程困难
t (min)m (kg)t = ?19 kg

一个水箱装有 500 L 水，其中溶有 5 kg 盐。 每升含盐 0.05 kg 的盐水以 5 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 多少分钟 t 后水箱中含盐 19 kg？

V = 500 Lm0 = 5 kgc = 0.05 kg/Lr = 5 L/min
t = min

3溶液

1.数值方法

答案: |E| = 0.03871

数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。

精确值

I = 1.386294

辛普森法则

S = (1.5/3)·(1 + 4·0.4 + 0.25) = 1.425

误差

|E| = |1.425 − 1.386294| = 0.03871

答案

|E| = 0.03871

相对误差：2.792%。

2.数值方法

答案: y2 = 0.7185

y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。

ntₙyₙk₁k₂yₙ₊₁000.50.50.560.60610.20.6060.5660.55920.71852

休恩法各步

y₁ = 0.5 + (0.2/2)(0.5 + 0.56) = 0.606
y₂ = 0.606 + (0.2/2)(0.566 + 0.5592) = 0.71852
00.10.20.30.40.50.60.7ty

图表

y2 = 0.7185

答案

y2 = 0.7185

精确值为 y(0.4) = 0.722263。

3.数列与级数

答案: R = 2.718

收敛性：如果各项不趋于 0，级数发散（通项判别法）。Σ1/kᵖ 仅当 p > 1 时收敛，Σrᵏ 仅当 |r| < 1 时收敛。当一个级数的项在 k 很大时与这些级数的项相近时，可与之比较。比值判别法：L = lim |ak+1/ak|；根值判别法：L = lim |ak|1/k。L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 无法判断。幂级数 Σck(x − x₀)ᵏ 在 |x − x₀| < R 时收敛，其中 R = lim |ck/ck+1|；项递减趋于 0 的交错级数收敛。

系数

ck/ck+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e

半径

R = 2.718

答案

R = 2.718

比值判别法对两个端点没有结论；必须单独检验它们。

4.数列与级数

答案: |R₄| = 3.257 × 10⁻⁶

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数的上界

M = e0.2 = 1.221

拉格朗日误差界

|R₄| ≤ 1.221·0.2⁵/5! = 3.257 × 10⁻⁶

答案

|R₄| = 3.257 × 10⁻⁶

真实误差更小：|f(0.2) − P₄(0.2)| = 2.758 × 10⁻⁶。

5.矩阵与行列式

答案: det A = −114

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −5, M₁₂ = −18, M₁₃ = 19

代数余子式展开

det A = 1·(−5) − (−5)·(−18) + (−1)·19 = −114

答案

det A = −114
6.矩阵与行列式

答案: λ = 1

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

特征方程

λ² − (−3)λ + (−4) = 0

求解

λ = (−3 ± √(25))/2 → λ = −4, 1
λ = 1

答案

λ = 1
7.微分方程

答案: y(2) = 0.006038

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 4)² = 0 → r = −4

常数

A = y(0) = 2
y′(0) = B − 4A → B = 0 + 8 = 8

求值

y(2) = (2 + 8·2)·e−8 = 0.006038

答案

y(2) = 0.006038
8.微分方程

答案: t = 120.4 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

结果

m(t) = 25 + (−20)·e−t/100

解出 t

e−t/100 = (25 − 19)/(25 − 5) = 0.3
t = 100·ln(3.333) = 120.4 min

答案

t = 120.4 min

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