物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 108 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 30 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 27 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 30 mv_0B = 27 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 35° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 15 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 2 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 50° 的角度抛出，落在 35 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 50°R = 35 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 30°h = 35 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆 800 kg 的汽车以 24 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 85 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 800 kgv = 24 m/sr = 85 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个 0.7 kg 的球系在长 0.5 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 11.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.7 kgr = 0.5 mv_bottom = 11.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。求它沿斜面滑行 19 m 后的速度 v。

θ = 35°μ = 0.1d = 19 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 1 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 1 mL = 5 mμ = 0.1k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 12 m/s 水平运动的 18 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。14 kg 的碎片以 59 m/s 继续向前运动。求 4 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 18 kgu = 12 m/sm₁ = 14 kgv′₁ = 59 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.3 kg 的小球以 23 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.3 kgv_in = 23 m/sv_out = 19 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.8 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.68 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.8 mT = 1.68 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 1.2 kg 的物体连在 k = 410 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 3 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 1.2 kgk = 410 N/mA = 3 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 30 cm 的薄会聚透镜前 4 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 4 cmf = 30 cm

m =

16.波、声与光学困难

静止的传感器向以 15 m/s 的速度远离的汽车发射 40 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 f_b（声速为 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 60 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·7.5) = 60 m

答案

s = 60 m

2.运动学

答案: t = 1.111 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

30 − ½g·t² = 27·t − ½g·t² → t = 30/27 = 1.111 s

答案

t = 1.111 s

3.牛顿定律

答案: F = 114.5 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 84.4 + 30.13 = 114.5 N

答案

F = 114.5 N

4.牛顿定律

答案: T = 16.05 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 0)/11 = 1.784 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·1.784 + 0 = 16.05 N

答案

T = 16.05 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 18.67 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·35/sin 100°) = 18.67 m/s

答案

v₀ = 18.67 m/s

6.抛体运动

答案: x = 144.8 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 30° = 29.44 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 30° = 17 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 17·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17 + √(289 + 686.7))/9.81 = 4.917 s

水平距离

x = v_x·t = 29.44·4.917 = 144.8 m

答案

x = 144.8 m

7.圆周运动

答案: N = 2427 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 800·9.81 − 800·24²/85 = 7848 − 5421 = 2427 N

答案

N = 2427 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: T_top = 150.8 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 11.5² − 4·9.81·0.5 = 112.6 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.7·112.6/0.5 − 0.7·9.81 = 150.8 N

答案

T_top = 150.8 N

9.功和能

答案: v = 13.54 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·19·(0.5736 − 0.1·0.8192)) = 13.54 m/s

答案

v = 13.54 m/s

10.功和能

答案: x = 6.264 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(1 − 0.1·5) = 9.81 J

最大压缩量

½kx² = 9.81 → x = √(2·9.81/5000) = 0.06264 m = 6.264 cm

答案

x = 6.264 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −152.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 18·12 = 216 kg·m/s

碰撞后的动量

216 = 14·59 + 4·v′₂

v′₂ = (216 − 826)/4 = −152.5 m/s

答案

v′₂ = −152.5 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: J = 12.6 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(19 + 23) = 12.6 N·s

答案

J = 12.6 N·s

13.弹簧与单摆

答案: g = 11.19 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.8/1.68² = 11.19 m/s²

答案

g = 11.19 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.5545 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(410/1.2) = 18.48 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.03·18.48 = 0.5545 m/s

答案

v_max = 0.5545 m/s

15.波、声与光学

答案: m = 1.154

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/4

d_i = −4.615 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −(−4.615)/4 = 1.154

答案

m = 1.154

16.波、声与光学

答案: f_b = 3352 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 40000·(343 − 15)/343 = 38251 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 15) = 36648 Hz

拍频

f_b = |f″ − f| = 3352 Hz

答案

f_b = 3352 Hz

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