物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 120 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2 m/s² 加速 8 s，然后匀速行驶 20 s，最后以 4 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 8 st₂ = 20 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 18 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 14 m/sθ = 50°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 150 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 150 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.7 kg 的球系在长 1.5 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 9.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.7 kgr = 1.5 mv_bottom = 9.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 13 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 25°μ = 0.1d = 13 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 1.5 mL = 2.5 mμ = 0.3k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 31 m/s 水平运动的 15 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。7 kg 的碎片以 86 m/s 继续向前运动。求 8 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 15 kgu = 31 m/sm₁ = 7 kgv′₁ = 86 m/sm₂ = 8 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 22 m/s 向东行驶的 1700 kg 汽车与一辆以 15 m/s 向北行驶的 1000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1700 kgv₁ = 22 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 15 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.6 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.6 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.7 s，振幅为 4 cm。它从最大位移 4 cm 处运动到位移 1 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.7 sA = 4 cmx = 1 cm

t = s

15.波、声与光学中等

两端固定的弦长 0.6 m；波在其上以 80 m/s 传播。求其第 4 次谐波的频率 f₄。

v = 80 m/sn = 4L = 0.6 m

f₄ = Hz

16.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 50 cm 的凹面镜前 4 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 4 cmR = 50 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 123.5 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·4.5) = 123.5 m

答案

s = 123.5 m

2.运动学

答案: s = 416 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·8 = 16 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2·8² = 64 m

s₂ = 16·20 = 320 m

s₃ = 16²/(2·4) = 32 m

总距离

s = 64 + 320 + 32 = 416 m

答案

s = 416 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.554 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.1·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.0766) = 5.554 m/s²

答案

a = 5.554 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.602 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 19.13)/11.5 = 2.602 m/s²

答案

a = 2.602 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 2.359 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 40° = 13.79 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 40° = 11.57 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·11.57/9.81 = 2.359 s

答案

t = 2.359 s

6.抛体运动

答案: x = 30.5 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 50° = 8.999 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 50° = 10.72 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 10.72·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.72 + √(115 + 392.4))/9.81 = 3.389 s

水平距离

x = v_x·t = 8.999·3.389 = 30.5 m

答案

x = 30.5 m

7.圆周运动

答案: v_max = 27.12 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·150) = 27.12 m/s

答案

v_max = 27.12 m/s (97.65 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 7.782 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 9.5² − 4·9.81·1.5 = 31.39 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.7·31.39/1.5 − 0.7·9.81 = 7.782 N

答案

T_top = 7.782 N

9.功和能

答案: W_f = 11.56 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.9063 = 8.891 N

F = μN = 0.1·8.891 = 0.8891 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 0.8891·13 = 11.56 J

答案

W_f = 11.56 J

10.功和能

答案: x = 13.56 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(1.5 − 0.3·2.5) = 36.79 J

最大压缩量

½kx² = 36.79 → x = √(2·36.79/4000) = 0.1356 m = 13.56 cm

答案

x = 13.56 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −17.13 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 15·31 = 465 kg·m/s

碰撞后的动量

465 = 7·86 + 8·v′₂

v′₂ = (465 − 602)/8 = −17.13 m/s

答案

v′₂ = −17.13 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 14.92 m/s

动量分量

p_x = 1700·22 = 37400 kg·m/s

p_y = 1000·15 = 15000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 40296/2700 = 14.92 m/s

答案

v′ = 14.92 m/s

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.537 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.6/9.81) = 2.537 s

答案

T = 2.537 s

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.5664 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.7 = 2.327 rad/s

求解时间

0.25 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.25) = 1.318 rad

t = 1.318/2.327 = 0.5664 s

答案

t = 0.5664 s

15.波、声与光学

答案: f₄ = 266.7 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.6/4 = 0.3 m

频率

f = v/λ = 80/0.3 = 266.7 Hz

答案

f₄ = 266.7 Hz

16.波、声与光学

答案: d_i = −4.762 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 25 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/4

d_i = −4.762 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −4.762 cm

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