运动学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 位移
- s = v0·t + ½·a·t²
- 不含时间
- v² = v0² + 2·a·s
- 单位
- 1 m/s = 3.6 km/h
方法
- 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
- 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
- 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
- 求解并检查答案在物理上是否合理。
物理（一）：力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
牛顿定律
- 第二定律
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 动摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ
方法
- 画出物体所受全部力的受力图。
- 沿运动方向选定正方向。
- 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
- 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。
抛体运动
- 分量
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最大高度
- H = h + vy²/(2g)
- 射程（水平地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
方法
- 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
- 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
- 由竖直方向的运动求飞行时间。
- 把该时间代入水平运动求射程。
圆周运动
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 水平弯道，摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
功和能
- 动能
- Ek = ½mv²
- 势能
- Ep = mgh
- 能量衡算
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力做功
- W = μ·N·d
- 功率
- P = W/t
动量与碰撞
- 动量
- p = m·v
- 守恒
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弹性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 冲量
- J = F·Δt = m·Δv
方法
- 选定正方向，并给每个速度标上符号。
- 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
- 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
- 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.运动学中等
一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。
v₀ = 72 km/ha = −8 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
球 A 从 25 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 28 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 两球何时相遇？求 t。
H = 25 mv0B = 28 m/sg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
一个 17 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。
m = 17 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
水平桌面上一个 6 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。
m1 = 6 kgm2 = 2.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
一个球 从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。
v0 = 36 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²
x = m
6.抛体运动困难
一个球 从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。
v0 = 29 m/sθ = 40°h = 45 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
一辆汽车通过半径为 65 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。
r = 65 mμs = 0.3g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
一个 1.9 kg 的球系在长 1.3 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 10 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 Ttop。
m = 1.9 kgr = 1.3 mvbottom = 10 m/sg = 9.81 m/s²
Ttop = N
9.功和能中等
一个玩具发射器有一根刚度为 2000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.25 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 8 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。
m = 0.25 kgk = 2000 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²
h = m
10.功和能困难
一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。 求物块到达弹簧时的速度 v。
m = 1 kgh = 5 mL = 4 mμ = 0.25k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
一辆以 13 m/s 行驶的 1100 kg 汽车撞上一辆静止的 1800 kg 汽车，两车卡在一起。 碰撞中损失了多少动能 ΔK？
m1 = 1100 kgv1 = 13 m/sm2 = 1800 kgv2 = 0
ΔK = J
12.动量与碰撞困难
一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 0.8 m 的轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 30°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。
m = 8 gM = 4.5 kgL = 0.8 mθ = 30°g = 9.81 m/s²
v = m/s
13.弹簧与单摆中等
要使单摆的周期为 1.2 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。
T = 1.2 sg = 9.81 m/s²
L = m
14.弹簧与单摆困难
一颗以 500 m/s 运动的 15 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 3 kg 木块中。木块连在一根 k = 1900 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。
m = 15 gv = 500 m/sM = 3 kgk = 1900 N/m
A = cm
15.波、声与光学中等
一端封闭的管长 0.75 m。声速为 343 m/s。求其第 7 次谐波的频率 f7。
v = 343 m/sn = 7L = 0.75 m
f7 = Hz
16.波、声与光学困难
波长为 450 nm 的光照射到相距 0.3 mm 的两条缝上。屏距离缝 1 m。求从中央亮条纹到第 3 条亮条纹的距离 y3。
λ = 450 nmd = 0.3 mmL = 1 mm = 3
y3 = mm
3溶液
1.运动学
答案: s = 25 m
匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。
单位
v₀ = 72/3.6 = 20 m/s
制动距离
0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·8) = 25 m
答案
s = 25 m
2.运动学
答案: t = 0.8929 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
相遇时间
向上为正，地面为 y = 0。
25 − ½g·t² = 28·t − ½g·t² → t = 25/28 = 0.8929 s
答案
t = 0.8929 s
3.牛顿定律
答案: a = 1.972 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
沿斜面方向的力
沿斜面向下为正。
m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ
加速度
a = 9.81·(sin 20° − 0.15·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.141) = 1.972 m/s²
答案
a = 1.972 m/s²
4.牛顿定律
答案: a = 0.8079 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
系统的加速度
a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (24.53 − 17.66)/8.5 = 0.8079 m/s²
答案
a = 0.8079 m/s²
5.抛体运动
答案: x = 132.1 m
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 36·cos 45° = 25.46 m/s
vy = v0·sin θ = 36·sin 45° = 25.46 m/s
飞行时间
起点与落点等高：t = 2vy/g。
t = 2·25.46/9.81 = 5.19 s
水平距离
x = vx·t = 25.46·5.19 = 132.1 m
答案
x = 132.1 m
6.抛体运动
答案: x = 121.6 m
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 29·cos 40° = 22.22 m/s
vy = v0·sin θ = 29·sin 40° = 18.64 m/s
飞行时间
解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。
0 = 45 + 18.64·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (18.64 + √(347.5 + 882.9))/9.81 = 5.476 s
水平距离
x = vx·t = 22.22·5.476 = 121.6 m
答案
x = 121.6 m
7.圆周运动
答案: vmax = 13.83 m/s
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
摩擦力提供向心力
m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·65) = 13.83 m/s
答案
vmax = 13.83 m/s (49.79 km/h)
8.圆周运动
答案: Ttop = 52.96 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
顶点的速度
在高度 2r 上，动能转化为势能。
vtop² = 10² − 4·9.81·1.3 = 48.99 m²/s²
顶点的受力
拉力和重力都向下，指向圆心。
T + m·g = m·vtop²/r
T = 1.9·48.99/1.3 − 1.9·9.81 = 52.96 N
答案
Ttop = 52.96 N
9.功和能
答案: h = 2.61 m
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
弹簧能量
x = 8 cm = 0.08 m
½kx² = ½·2000·0.08² = 6.4 J
高度
m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N
h = ½kx²/(mg) = 6.4/2.453 = 2.61 m
答案
h = 2.61 m
10.功和能
答案: v = 8.859 m/s
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
通过粗糙段后剩余的能量
坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。
mgh − μmgL = 9.81·(5 − 0.25·4) = 39.24 J
到达弹簧时的速度
½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s
答案
v = 8.859 m/s
11.动量与碰撞
答案: ΔK = 57693 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
共同速度
v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 1100·13/2900 = 4.931 m/s
碰撞前后的动能
Kbefore = ½·1100·13² = 92950 J
Kafter = ½·2900·4.931² = 35257 J
损失的能量
ΔK = 92950 − 35257 = 57693 J
答案
ΔK = 57693 J
损失的能量转化为形变、热和声音。
12.动量与碰撞
答案: v = 817.1 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
木块的上升高度
h = L·(1 − cos θ) = 0.8·(1 − cos 30°) = 0.1072 m
撞击后的速度
V = √(2·9.81·0.1072) = 1.45 m/s
碰撞
v = (m + M)·V/m = 4.508·1.45/0.008 = 817.1 m/s
答案
v = 817.1 m/s
13.弹簧与单摆
答案: L = 0.3578 m
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
求摆长
L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.2/2π)² = 0.3578 m
答案
L = 0.3578 m
14.弹簧与单摆
答案: A = 9.909 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
撞击后的速度
V = m·v/(m + M) = 0.015·500/3.015 = 2.488 m/s
角频率
ω = √(k/(m + M)) = √(1900/3.015) = 25.1 rad/s
振幅
A = V/ω = 2.488/25.1 = 0.09909 m = 9.909 cm
答案
A = 9.909 cm
15.波、声与光学
答案: f7 = 800.3 Hz
驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。
该模式的波长
λ = 4L/n = 4·0.75/7 = 0.4286 m
频率
f = v/λ = 343/0.4286 = 800.3 Hz
答案
f7 = 800.3 Hz
16.波、声与光学
答案: y3 = 4.5 mm
干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。
条纹间距
Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·1/(0.3 × 10⁻³) = 1.5 mm
第 3 条条纹
y3 = 3·1.5 = 4.5 mm
答案
y3 = 4.5 mm
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