物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 240 km/h 的速度，可用跑道长 1200 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 240 km/hs = 1200 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 10 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 10 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 40° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 70 N 的水平力拉前面 2 kg 的物块；9 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 2 kgF = 70 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 34 m/s 抛出，必须落在 50 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 34 m/sR = 50 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 15 m/sθ = 60°h = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 100 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 100 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.7 kg 的小球系在长 1.1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.7 kgr = 1.1 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的球挂在长 1.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 45°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 10 kgL = 1.5 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 1 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 1 mL = 4 mμ = 0.1k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 20 m/s 行驶的 800 kg 汽车撞上一辆静止的 1800 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 800 kgv₁ = 20 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 30 m/s 撞到墙上，并以 4 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.35 kgv_in = 30 m/sv_out = 4 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.1 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一颗以 150 m/s 运动的 8 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 4 kg 木块中。木块连在一根 k = 1800 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 8 gv = 150 m/sM = 4 kgk = 1800 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

光在火石玻璃（n = 1.62）中向与乙醇（n = 1.36）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 1.62n₂ = 1.36

θ_c = °

16.波、声与光学困难

波长为 532 nm 的光照射到相距 0.15 mm 的两条缝上。屏距离缝 1.5 m。求从中央亮条纹到第 5 条亮条纹的距离 y₅。

λ = 532 nmd = 0.15 mmL = 1.5 mm = 5

y₅ = mm

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.852 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 240/3.6 = 66.67 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 66.67²/(2·1200) = 1.852 m/s²

答案

a = 1.852 m/s²

2.运动学

答案: h_max = 10.1 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9.81) = 5.097 m

离地面的高度

h_max = 5 + 5.097 = 10.1 m

答案

h_max = 10.1 m

3.牛顿定律

答案: F = 74.33 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 63.06 + 11.27 = 74.33 N

答案

F = 74.33 N

4.牛顿定律

答案: T = 57.27 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (70 − 10.79)/11 = 5.383 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 9·(5.383 + 0.981) = 57.27 N

答案

T = 57.27 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: θ = 12.55 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·50/34² = 0.4243

相角

2θ = 25.11° → θ = 12.55°

答案

θ = 12.55°

另一个解为 90° − θ = 77.45°。

6.抛体运动

答案: t = 3.272 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 60° = 7.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 60° = 12.99 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 12.99·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.99 + √(168.7 + 196.2))/9.81 = 3.272 s

答案

t = 3.272 s

7.圆周运动

答案: v_max = 19.81 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·100) = 19.81 m/s

答案

v_max = 19.81 m/s (71.31 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 19.75 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.7·9.81 + 0.7·4.5²/1.1 = 6.867 + 12.89 = 19.75 N

答案

T = 19.75 N

9.功和能

答案: T = 155.6 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 45°) = 8.62 m²/s²

最低点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·8.62/1.5 = 155.6 N

答案

T = 155.6 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 155.6 N。

10.功和能

答案: x = 21.7 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(1 − 0.1·4) = 11.77 J

最大压缩量

½kx² = 11.77 → x = √(2·11.77/500) = 0.217 m = 21.7 cm

答案

x = 21.7 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 110769 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 800·20/2600 = 6.154 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·800·20² = 160000 J

K_after = ½·2600·6.154² = 49231 J

损失的能量

ΔK = 160000 − 49231 = 110769 J

答案

ΔK = 110769 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 2380 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(4 + 30) = 11.9 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 11.9/0.005 = 2380 N

答案

F_avg = 2380 N

13.弹簧与单摆

答案: L = 1.096 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.1/2π)² = 1.096 m

答案

L = 1.096 m

14.弹簧与单摆

答案: A = 1.413 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.008·150/4.008 = 0.2994 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1800/4.008) = 21.19 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.2994/21.19 = 0.01413 m = 1.413 cm

答案

A = 1.413 cm

15.波、声与光学

答案: θ_c = 57.09 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.36/1.62 = 0.8395

临界角

θc = arcsin(0.8395) = 57.09°

答案

θ_c = 57.09°

16.波、声与光学

答案: y₅ = 26.6 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·1.5/(0.15 × 10⁻³) = 5.32 mm

第 5 条条纹

y₅ = 5·5.32 = 26.6 mm

答案

y₅ = 26.6 mm

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