物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 72 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.6 s，之后汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 72 km/ht_r = 0.6 sa = −4 m/s²

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1 m/s² 加速 8 s，然后匀速行驶 23 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 1 m/s²t₁ = 8 st₂ = 23 sa₃ = −3 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 6 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 9.2 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 6 m/sd = 9.2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 3.5 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 3.5 m/sθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 15 m/sθ = 35°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 120 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 120 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.2 kg 的球系在长 0.8 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 11 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.2 kgr = 0.8 mv_bottom = 11 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 2 m，动摩擦因数为 0.3。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 25°μ = 0.3d = 2 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 3 mL = 1.5 mμ = 0.1k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1100 kg 的汽车撞上一辆停放的 800 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 21 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1100 kgm₂ = 800 kgd = 21 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 60 N/m 弹簧上的 1.3 kg 物体在无摩擦表面上以 17 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 13 cm 时的速度 v。

m = 1.3 kgk = 60 N/mA = 17 cmx = 13 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 4 kg 的物体连在 k = 110 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 5 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 4 kgk = 110 N/mA = 5 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一个高 4 cm 的物体位于焦距为 8 cm 的薄会聚透镜前 50 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 4 cmd_o = 50 cmf = 8 cm

h_i = cm

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 15 cm：透镜 1 的 f₁ = 5 cm，透镜 2 的 f₂ = 12 cm。一个物体位于透镜 1 前 20 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 5 cmf₂ = 12 cms = 15 cmd_o = 20 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 62 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 20·0.6 = 12 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·4) = 50 m

合计

d = 12 + 50 = 62 m

答案

d = 62 m

2.运动学

答案: t = 33.67 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 1·8 = 8 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 8/3 = 2.667 s

总时间

t = 8 + 23 + 2.667 = 33.67 s

答案

t = 33.67 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.1994

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 6²/(2·9.2) = 1.957 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.957/9.81 = 0.1994

答案

μ = 0.1994

4.牛顿定律

答案: d = 0.9525 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.1·cos 35°) = 6.43 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 3.5²/(2·6.43) = 0.9525 m

答案

d = 0.9525 m

5.抛体运动

答案: x = 90.35 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 50° = 19.28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 50° = 22.98 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·22.98/9.81 = 4.685 s

水平距离

x = v_x·t = 19.28·4.685 = 90.35 m

答案

x = 90.35 m

6.抛体运动

答案: t = 2.214 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 35° = 12.29 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 35° = 8.604 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 8.604·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.604 + √(74.02 + 98.1))/9.81 = 2.214 s

答案

t = 2.214 s

7.圆周运动

答案: v_max = 26.58 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·120) = 26.58 m/s

答案

v_max = 26.58 m/s (95.68 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 20.44 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 11² − 4·9.81·0.8 = 89.61 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.2·89.61/0.8 − 0.2·9.81 = 20.44 N

答案

T_top = 20.44 N

9.功和能

答案: W_f = 13.34 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.9063 = 22.23 N

F = μN = 0.3·22.23 = 6.668 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 6.668·2 = 13.34 J

答案

W_f = 13.34 J

10.功和能

答案: x = 23.65 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(3 − 0.1·1.5) = 139.8 J

最大压缩量

½kx² = 139.8 → x = √(2·139.8/5000) = 0.2365 m = 23.65 cm

答案

x = 23.65 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −0.5556 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 5)/(4 + 5)·5 = −0.5556 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 5)·5 = 4.444 m/s

答案

v′₁ = −0.5556 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 29.33 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·21) = 16.98 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 1900·16.98/1100 = 29.33 m/s

答案

v₁ = 29.33 m/s

(105.6 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.7442 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(60/1.3) = 6.794 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 6.794·√(0.17² − 0.13²) = 0.7442 m/s

答案

v = 0.7442 m/s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.2622 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(110/4) = 5.244 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.05·5.244 = 0.2622 m/s

答案

v_max = 0.2622 m/s

15.波、声与光学

答案: h_i = −0.7619 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/50

d_i = 9.524 cm

放大率与像高

m = −9.524/50 = −0.1905

h_i = −0.1905·4 = −0.7619 cm

答案

h_i = −0.7619 cm

16.波、声与光学

答案: d_i2 = −27.27 cm

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/5 − 1/20 → d_i1 = 6.667 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 15 − 6.667 = 8.333 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/12 − 1/8.333 → d_i2 = −27.27 cm

答案

d_i2 = −27.27 cm

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