物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 180 km/h 的速度，可用跑道长 1000 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 180 km/hs = 1000 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 14 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 5 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 15° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 5 kgθ = 15°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 85 N 的水平力拉前面 2 kg 的物块；1 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 1 kgm₂ = 2 kgF = 85 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 12 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 36 m/s、与水平方向成 70° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 15 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 36 m/sθ = 70°h_roof = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 30 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 30 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 60 m 的弯道倾斜 12°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 60 mθ = 12°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.4。求它沿斜面滑行 16 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.4d = 16 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一辆 5 kg 的小车从光滑轨道上 4.5 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 5 kgh = 4.5 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一个以 7 m/s 水平运动的 14 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。5 kg 的碎片以 27 m/s 继续向前运动。求 9 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 14 kgu = 7 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 27 m/sm₂ = 9 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 1.8 m 的轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 25°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 1.5 kgL = 1.8 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 180 N/m 弹簧上的 3 kg 物体被沿正方向拉开 7 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.15 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 3 kgk = 180 N/mA = 7 cmt = 0.15 s

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 470 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 13 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 1 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 470 N/mA = 13 cmx = 1 cm

U = J

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 5 cm 的薄会聚透镜前 25 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 25 cmf = 5 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 30 m/s 的速度靠近的汽车发射 30 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 30 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.25 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 180/3.6 = 50 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 50²/(2·1000) = 1.25 m/s²

答案

a = 1.25 m/s²

2.运动学

答案: t = 4.282 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (14 + √(14² + 2·9.81·30))/9.81 = 4.282 s

答案

t = 4.282 s

3.牛顿定律

答案: F = 24.54 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 12.7 + 11.84 = 24.54 N

答案

F = 24.54 N

4.牛顿定律

答案: a = 26.37 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (85 − 5.886)/3 = 26.37 m/s²

答案

a = 26.37 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 14.68 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 45° = 8.485 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 45° = 8.485 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·8.485/9.81 = 1.73 s

水平距离

x = v_x·t = 8.485·1.73 = 14.68 m

答案

x = 14.68 m

6.抛体运动

答案: x = 79.05 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 12.31 m/s, v_y = 33.83 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

15 = 33.83·t − 4.905·t²

t = (33.83 + √(33.83² − 2·9.81·15))/9.81 = 6.421 s

水平距离

x = v_x·t = 12.31·6.421 = 79.05 m

答案

x = 79.05 m

7.圆周运动

答案: v_max = 14.35 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·30) = 14.35 m/s

答案

v_max = 14.35 m/s (51.67 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 17.95 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(60·9.81·0.5014/0.9158) = 17.95 m/s

答案

v_max = 17.95 m/s

(64.62 km/h)

9.功和能

答案: v = 10.28 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·16·(0.6428 − 0.4·0.766)) = 10.28 m/s

答案

v = 10.28 m/s

10.功和能

答案: N = 49.05 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(4.5 − 3) = 29.43 m²/s²

顶点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·29.43/1.5 − 49.05 = 49.05 N

答案

N = 49.05 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −4.111 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 14·7 = 98 kg·m/s

碰撞后的动量

98 = 5·27 + 9·v′₂

v′₂ = (98 − 135)/9 = −4.111 m/s

答案

v′₂ = −4.111 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v = 138.2 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.8·(1 − cos 25°) = 0.1686 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1686) = 1.819 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.52·1.819/0.02 = 138.2 m/s

答案

v = 138.2 m/s

13.弹簧与单摆

答案: v = −0.4975 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(180/3) = 7.746 rad/s

ω·t = 7.746·0.15 = 1.162 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.07·7.746·sin(1.162) = −0.4975 m/s

答案

v = −0.4975 m/s

14.弹簧与单摆

答案: U = 0.0235 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·470·0.13² = 3.972 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·470·0.01² = 0.0235 J

答案

U = 0.0235 J

15.波、声与光学

答案: d_i = 6.25 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/25

d_i = 6.25 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 6.25 cm

16.波、声与光学

答案: f″ = 35751 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 30000·(343 + 30)/343 = 32624 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 30) = 35751 Hz

答案

f″ = 35751 Hz

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