物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 17 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2.5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 17 m/sa_police = 2.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2.5 m/s² 加速 8 s，然后匀速行驶 17 s，最后以 5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 8 st₂ = 17 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 10 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 13 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 10 m/sd = 13 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 8 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 8 m/sθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 38 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 35 m/sθ = 35°h = 10 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 135 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 135 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆小车在无摩擦轨道上由静止释放，驶入一个半径为 3 m 的竖直圆环。它必须从高出圆环底部至少多高 h_min 处出发，才能在圆环顶部保持在轨道上？

R = 3 mv₀ = 0

h_min = m

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。求它沿斜面滑行 20 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.25d = 20 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一辆 10 kg 的小车从光滑轨道上 9 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 10 kgh = 9 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.3 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.3 kgv_in = 11 m/sv_out = 13 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 230 N/m 弹簧上的 2.6 kg 物体被沿正方向拉开 3 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.85 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 2.6 kgk = 230 N/mA = 3 cmt = 0.85 s

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 0.8 kg 的物体连在 k = 320 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 12 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 0.8 kgk = 320 N/mA = 12 cm

E = J

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 0.75 m。声速为 343 m/s。求其第 5 次谐波的频率 f₅。

v = 343 m/sn = 5L = 0.75 m

f₅ = Hz

16.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.5，包层 n₂ = 1.48。求从空气射入光纤端面且仍能通过全反射被导引的光线与光纤轴所成的最大角 θ_a。

n₁ = 1.5n₂ = 1.48n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.运动学

答案: d = 231.2 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·17/2.5 = 13.6 s

距离

d = v·t = 17·13.6 = 231.2 m

答案

d = 231.2 m

此时警车的速度为 2v = 34 m/s。

2.运动学

答案: s = 460 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·8 = 20 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2.5·8² = 80 m

s₂ = 20·17 = 340 m

s₃ = 20²/(2·5) = 40 m

总距离

s = 80 + 340 + 40 = 460 m

答案

s = 460 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.3921

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 10²/(2·13) = 3.846 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.846/9.81 = 0.3921

答案

μ = 0.3921

4.牛顿定律

答案: d = 4.845 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.2·cos 30°) = 6.604 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·6.604) = 4.845 m

答案

d = 4.845 m

5.抛体运动

答案: x = 112.8 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 65° = 16.06 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 65° = 34.44 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·34.44/9.81 = 7.021 s

水平距离

x = v_x·t = 16.06·7.021 = 112.8 m

答案

x = 112.8 m

6.抛体运动

答案: x = 130.2 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 35° = 28.67 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 35° = 20.08 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 20.08·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20.08 + √(403 + 196.2))/9.81 = 4.542 s

水平距离

x = v_x·t = 28.67·4.542 = 130.2 m

答案

x = 130.2 m

7.圆周运动

答案: v_max = 32.55 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·135) = 32.55 m/s

答案

v_max = 32.55 m/s (117.2 km/h)

8.圆周运动

答案: h_min = 7.5 m

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶部的条件

m·g = m·v²/R → v² = g·R

能量守恒

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·3 = 7.5 m

答案

h_min = 7.5 m

9.功和能

答案: v = 8.771 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·20·(0.4226 − 0.25·0.9063)) = 8.771 m/s

答案

v = 8.771 m/s

10.功和能

答案: N = 392.4 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(9 − 4) = 98.1 m²/s²

顶点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

N = mv²/R − mg = 10·98.1/2 − 98.1 = 392.4 N

答案

N = 392.4 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 0.8889 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·8 = 0.8889 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·8 = 8.889 m/s

答案

v′₁ = 0.8889 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 7.2 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(13 + 11) = 7.2 N·s

答案

J = 7.2 N·s

13.弹簧与单摆

答案: v = −0.2794 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(230/2.6) = 9.405 rad/s

ω·t = 9.405·0.85 = 7.995 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.03·9.405·sin(7.995) = −0.2794 m/s

答案

v = −0.2794 m/s

14.弹簧与单摆

答案: E = 2.304 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(320/0.8) = 20 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·320·0.12² = 2.304 J

答案

E = 2.304 J

15.波、声与光学

答案: f₅ = 571.7 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·0.75/5 = 0.6 m

频率

f = v/λ = 343/0.6 = 571.7 Hz

答案

f₅ = 571.7 Hz

16.波、声与光学

答案: θ_a = 14.13 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.48/1.5 = 0.9867 → θc = 80.63°

数值孔径

NA = √(1.5² − 1.48²) = 0.2441

接收角

θ_a = arcsin(0.2441) = 14.13°

答案

θ_a = 14.13°

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